ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( M \) и \( K \) — середины соответственно рёбер \( CD \) и \( CC_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \). Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором \( \overrightarrow{AD} \);

2) противоположно направлены с вектором \( \overrightarrow{MK} \);

3) имеют равные модули с вектором \( \overrightarrow{AC_1} \).

Вектор \(\overrightarrow{AD}\) направлен вдоль ребра параллелепипеда, поэтому сонаправлены с ним векторы \(\overrightarrow{A_1D}\), \(\overrightarrow{B_1C_1}\), \(\overrightarrow{BC}\), так как они параллельны и имеют одинаковое направление.

Вектор \(\overrightarrow{MK}\) соединяет середины ребер \(CD\) и \(CC_1\). Его направление противоположно вектору \(\overrightarrow{C_1D}\) и \(\overrightarrow{B_1A}\), так как эти векторы идут в обратную сторону.

Модуль вектора \(\overrightarrow{AC_1}\) равен длине диагонали параллелепипеда, равной длине вектора \(\overrightarrow{B_1D}\), так как эти отрезки диагонали равны по длине.

1) Вектор \(\overrightarrow{AD}\) направлен вдоль ребра параллелепипеда от вершины \(A\) к вершине \(D\). Поскольку параллелепипед — это фигура с параллельными и равными по длине противоположными рёбрами, векторы, параллельные \(\overrightarrow{AD}\), будут иметь то же направление, что и он. Векторы \(\overrightarrow{A_1D}\), \(\overrightarrow{B_1C_1}\), \(\overrightarrow{BC}\) лежат вдоль рёбер, параллельных \(AD\), и направлены в ту же сторону, поэтому они сонаправлены с \(\overrightarrow{AD}\).

2) Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(CD\) и \(CC_1\) соответственно. Вектор \(\overrightarrow{MK}\) соединяет эти середины, и его направление можно определить через координаты или геометрические свойства параллелепипеда. Векторы \(\overrightarrow{C_1D}\) и \(\overrightarrow{B_1A}\) направлены в сторону, противоположную \(\overrightarrow{MK}\), поскольку они идут в обратном направлении вдоль тех же линий, что и \(\overrightarrow{MK}\). Это означает, что эти векторы противоположно направлены с \(\overrightarrow{MK}\).

3) Вектор \(\overrightarrow{AC_1}\) является диагональю параллелепипеда, соединяющей вершину \(A\) с вершиной \(C_1\), расположенной на противоположном углу. Его длина равна длине диагонали параллелепипеда. Вектор \(\overrightarrow{B_1D}\) также соединяет противоположные вершины и имеет такую же длину, что и \(\overrightarrow{AC_1}\), поэтому их модули равны. Это объясняет, почему вектор \(\overrightarrow{B_1D}\) имеет модуль, равный модулю \(\overrightarrow{AC_1}\).