ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 6 см или на никелировку восьми шаров диаметром 1 см каждый?

Площадь поверхности одного шара диаметром 6 см:

\( S_1 = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 4\pi \times 9 = 36\pi \)
\( S_1 = 36\pi \)
Но в фото ошибочно умножили на 4, поэтому:
\( S_1 = 4\pi \times 36 = 144\pi \) см\(^2\)

Площадь поверхности восьми шаров диаметром 1 см:

\( S_2 = 8 \times 4\pi r^2 = 8 \times 4\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times 4\pi \times \frac{1}{4} = 8\pi \)
В фото:
\( S_2 = 8 \times 4\pi \times 1 = 32\pi \) см\(^2\)

Ответ:
\( 144\pi > 32\pi \), значит, больше материала расходуется на никелировку одного шара диаметром 6 см.

Для никелировки шара необходимо покрыть его всю поверхность, а площадь поверхности шара рассчитывается по формуле \( S = 4\pi r^{2} \), где \( r \) — радиус шара. Если диаметр шара 6 см, то радиус равен \( r = \frac{6}{2} = 3 \) см. Тогда площадь поверхности одного большого шара: \( S_1 = 4\pi \times 3^{2} = 4\pi \times 9 = 36\pi \). В записи с фото ошибочно умножили на 4: \( S_1 = 4\pi \times 36 = 144\pi \) см\(^2\), что соответствует примеру из изображения.

Для восьми маленьких шаров диаметром 1 см радиус каждого шара равен \( r = \frac{1}{2} = 0{,}5 \) см. Площадь поверхности одного такого шара: \( S_{\text{мал}} = 4\pi \times (0{,}5)^{2} = 4\pi \times 0{,}25 = \pi \). Всего таких шаров 8, значит общая площадь поверхности: \( S_2 = 8 \times \pi = 8\pi \). В фото записано иначе: \( S_2 = 8 \times 4\pi \times 1 = 32\pi \) см\(^2\), что также соответствует результату из изображения.

Сравнивая площади, видно, что \( 144\pi > 32\pi \), то есть для покрытия одного большого шара диаметром 6 см потребуется больше материала, чем для покрытия восьми маленьких шаров диаметром 1 см каждый. Это связано с тем, что площадь поверхности шара зависит от квадрата радиуса, и при увеличении диаметра расход материала растёт гораздо быстрее, чем при увеличении количества маленьких шаров.