ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны \(400\pi\) см\(^2\) и \(49\pi\) см\(^2\). Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 9 см.

Пусть радиусы сечений \( r_1 \) и \( r_2 \). По формуле площади круга:
\( S_1 = 400\pi = \pi r_1^2 \Rightarrow r_1^2 = 400 \Rightarrow r_1 = 20 \) см

\( S_2 = 49\pi = \pi r_2^2 \Rightarrow r_2^2 = 49 \Rightarrow r_2 = 7 \) см

Расстояние между сечениями \( d = 9 \) см. По теореме Пифагора для шара радиуса \( R \):

\( (R — x_1)^2 + r_1^2 = R^2 \)

\( (R — x_2)^2 + r_2^2 = R^2 \)

\( x_1 — x_2 = 9 \)

Подставляем значения и решаем:

\( x_1 = R — \sqrt{R^2 — r_1^2} \)

\( x_2 = R — \sqrt{R^2 — r_2^2} \)

\( x_1 — x_2 = \sqrt{R^2 — r_2^2} — \sqrt{R^2 — r_1^2} = 9 \)

\( \sqrt{R^2 — 49} — \sqrt{R^2 — 400} = 9 \)

Пусть \( a = \sqrt{R^2 — 49} \), \( b = \sqrt{R^2 — 400} \), тогда \( a — b = 9 \), \( a^2 — b^2 = 351 \Rightarrow (a-b)(a+b) = 351 \Rightarrow 9(a+b) = 351 \Rightarrow a+b = 39 \).

Тогда \( a = 24 \), \( b = 15 \).

\( \sqrt{R^2 — 49} = 24 \Rightarrow R^2 = 24^2 + 49 = 625 \Rightarrow R = 25 \) см

Площадь поверхности шара: \( S = 4\pi R^2 = 4\pi \times 625 = 2500\pi \) см\(^2\)

Для решения задачи сначала определим радиусы кругов, которые являются сечениями шара. Площадь первого сечения равна \(400\pi\) см\(^{2}\), значит радиус первого круга \(r_1\) можно найти по формуле площади круга:
\(S_1 = \pi r_1^{2}\).
Подставляем значения:
\(400\pi = \pi r_1^{2}\),
откуда \(r_1^{2} = 400\),
значит \(r_1 = 20\) см.

Аналогично для второго сечения, где площадь \(49\pi\) см\(^{2}\):
\(S_2 = \pi r_2^{2}\),
\(49\pi = \pi r_2^{2}\),
откуда \(r_2^{2} = 49\),
значит \(r_2 = 7\) см.

Теперь используем геометрию шара. Пусть \(R\) — радиус шара, а расстояния от центра шара до плоскостей сечений обозначим как \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Пифагора для круга, лежащего внутри шара:
\((R — x_1)^{2} + r_1^{2} = R^{2}\),
\((R — x_2)^{2} + r_2^{2} = R^{2}\).
Расстояние между плоскостями сечений \(d = x_1 — x_2 = 9\) см.
Выразим \(x_1\) и \(x_2\) через \(R\):
\(x_1 = R — \sqrt{R^{2} — r_1^{2}}\),
\(x_2 = R — \sqrt{R^{2} — r_2^{2}}\).
Подставляем значения радиусов:
\(x_1 — x_2 = \sqrt{R^{2} — r_2^{2}} — \sqrt{R^{2} — r_1^{2}} = 9\).
Подставляем значения:
\(\sqrt{R^{2} — 49} — \sqrt{R^{2} — 400} = 9\).

Введём обозначения:
Пусть \(a = \sqrt{R^{2} — 49}\), \(b = \sqrt{R^{2} — 400}\).
Тогда \(a — b = 9\).
Также \(a^{2} — b^{2} = (R^{2} — 49) — (R^{2} — 400) = 351\).
Рассмотрим разность квадратов:
\(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\),
\(351 = 9(a + b)\),
\(a + b = \frac{351}{9} = 39\).

Теперь решаем систему:
\(a — b = 9\),
\(a + b = 39\).
Складываем и вычитаем:
\(a = \frac{39 + 9}{2} = 24\),
\(b = \frac{39 — 9}{2} = 15\).

Теперь найдём радиус шара:
\(a = 24 = \sqrt{R^{2} — 49}\),
\(24^{2} = R^{2} — 49\),
\(576 = R^{2} — 49\),
\(R^{2} = 625\),
\(R = 25\) см.

Площадь поверхности шара равна \(S = 4\pi R^{2}\).
Подставляем найденный радиус:
\(S = 4\pi \cdot 25^{2} = 4\pi \cdot 625 = 2500\pi\) см\(^{2}\).