ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Два сечения шара имеют только одну общую точку, а их плоскости перпендикулярны. Радиус одного сечения равен 5 см, а радиус другого — 12 см. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь поверхности шара \( S = 4\pi r^2 \).

Ищем радиус шара \( r \):

Плоскости пересекаются в одной точке, значит, радиусы сечений \( 5 \) и \( 12 \) см — это расстояния от центра шара до точек пересечения с плоскостями, которые перпендикулярны друг другу. Радиус шара \( r = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Тогда площадь поверхности шара:
\( S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 13^2 = 4\pi \cdot 169 = 676\pi \ \text{см}^2 \)

Для того чтобы найти площадь поверхности шара, нужно сначала определить его радиус. По условию задачи два сечения шара имеют только одну общую точку, а их плоскости перпендикулярны. Радиусы этих сечений равны \(5\) см и \(12\) см. Это значит, что если представить центр шара, то расстояния от центра до точек пересечения с плоскостями будут равны этим радиусам, а сами плоскости будут проходить через центр шара и пересекаться под прямым углом. Таким образом, радиус шара будет равен расстоянию от центра до точки пересечения этих двух плоскостей, которое можно найти по теореме Пифагора.

Рассмотрим, что радиусы сечений являются катетами прямоугольного треугольника, а радиус шара — гипотенузой. Тогда радиус шара вычисляется по формуле: \( r = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} \). Подставим значения: \( r = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Теперь, зная радиус шара, можно найти его площадь поверхности по стандартной формуле: \( S = 4\pi r^{2} \). Подставляем найденный радиус: \( S = 4\pi \times 13^{2} \). Вычисляем квадрат радиуса: \( 13^{2} = 169 \), следовательно, \( S = 4\pi \times 169 = 676\pi \) см\(^2\).

Окончательно, площадь поверхности шара равна \(676\pi\) см\(^2\).