ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по разные стороны от его центра, равны \(9\pi\) см\(^2\) и \(25\pi\) см\(^2\). Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 8 см.

Пусть площади сечений \(S_1 = 9\pi\) и \(S_2 = 25\pi\).

Площадь сечения шара: \(S = \pi r^2\), где \(r\) — радиус соответствующего сечения.

Для первого сечения:
\(9\pi = \pi r_1^2 \Rightarrow r_1^2 = 9 \Rightarrow r_1 = 3\)

Для второго сечения:
\(25\pi = \pi r_2^2 \Rightarrow r_2^2 = 25 \Rightarrow r_2 = 5\)

Расстояние между плоскостями сечений равно 8 см, то есть \(h_1 + h_2 = 8\), где \(h_1\) и \(h_2\) — расстояния от центра шара до каждой плоскости.

Находим радиус шара:
\(R^2 = r_1^2 + h_1^2 = 9 + 25 = 34\)
\(R = \sqrt{34}\)

Площадь поверхности шара:
\(S = 4\pi R^2 = 4\pi (\sqrt{34})^2 = 4\pi \cdot 34 = 136\pi\) (см\(^2\))

Пусть площади двух параллельных сечений шара равны \(9\pi\) и \(25\pi\). По формуле площади круга: \(S = \pi r^{2}\), где \(r\) — радиус сечения. Для первого сечения: \(9\pi = \pi r_{1}^{2}\), отсюда \(r_{1}^{2} = 9\), значит \(r_{1} = 3\). Для второго сечения: \(25\pi = \pi r_{2}^{2}\), отсюда \(r_{2}^{2} = 25\), значит \(r_{2} = 5\).

Пусть \(h_{1}\) и \(h_{2}\) — расстояния от центра шара до каждой из плоскостей сечений. По теореме Пифагора для шара радиусом \(R\): \(R^{2} = r_{1}^{2} + h_{1}^{2}\) и \(R^{2} = r_{2}^{2} + h_{2}^{2}\). Вычтем второе из первого: \(r_{2}^{2} — r_{1}^{2} = h_{1}^{2} — h_{2}^{2}\). Подставляем значения: \(25 — 9 = h_{1}^{2} — h_{2}^{2}\), отсюда \(16 = h_{1}^{2} — h_{2}^{2}\).

Из условия задачи известно, что расстояние между плоскостями сечений равно 8 см: \(h_{1} + h_{2} = 8\). Получаем систему: \(h_{1} + h_{2} = 8\) и \(h_{1}^{2} — h_{2}^{2} = 16\). Второе уравнение можно записать как \((h_{1} — h_{2})(h_{1} + h_{2}) = 16\). Подставляем \(h_{1} + h_{2} = 8\): \((h_{1} — h_{2}) \cdot 8 = 16\), отсюда \(h_{1} — h_{2} = 2\). Решаем систему: \(h_{1} + h_{2} = 8\), \(h_{1} — h_{2} = 2\). Складываем: \(2h_{1} = 10\), значит \(h_{1} = 5\). Вычитаем: \(2h_{2} = 6\), значит \(h_{2} = 3\).

Теперь найдём радиус шара \(R\). Используем формулу: \(R^{2} = r_{1}^{2} + h_{1}^{2} = 9 + 25 = 34\). Тогда \(R = \sqrt{34}\). Площадь поверхности шара равна \(S = 4\pi R^{2} = 4\pi \left(\sqrt{34}\right)^{2} = 4\pi \cdot 34 = 136\pi\) см\(^{2}\).