ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите отношение площади сферы, вписанной в куб, к площади сферы, описанной около данного куба.

\(\frac{S_{\text{впис.}}}{S_{\text{опис.}}} = \frac{4\pi \frac{a^2}{4}}{4\pi \frac{a^2 2}{4}} = \frac{1}{3}\)

Площадь сферы, вписанной в куб, относится к площади сферы, описанной около куба, как \( \frac{1}{3} \).

Пусть длина ребра куба равна \(a\). Радиус сферы, вписанной в куб, равен половине ребра: \(r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}\). Площадь поверхности такой сферы вычисляется по формуле \(S_{\text{впис}} = 4\pi r_{\text{впис}}^{2} = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = 4\pi \frac{a^{2}}{4} = \pi a^{2}\).

Радиус сферы, описанной около куба, равен половине диагонали куба. Диагональ куба по теореме Пифагора: \(d = a\sqrt{3}\), значит, радиус описанной сферы \(r_{\text{опис}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Площадь поверхности описанной сферы: \(S_{\text{опис}} = 4\pi r_{\text{опис}}^{2} = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 4\pi \frac{a^{2} \cdot 3}{4} = 3\pi a^{2}\).

Теперь найдём отношение площадей: \(\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}} = \frac{\pi a^{2}}{3\pi a^{2}} = \frac{1}{3}\).

В приведённом на фото решении используется аналогичная логика, только выражения для площадей сразу подставляются в виде дробей: \(\frac{4\pi \frac{a^{2}}{4}}{4\pi \frac{a^{2} \cdot 2}{4}} = \frac{1}{3}\). Итоговое отношение площадей сферы, вписанной в куб, к площади сферы, описанной около данного куба, равно \(\frac{1}{3}\).