ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 6 см.

Сначала находим диагональ параллелепипеда по формуле:
\( d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \) см

Диаметр сферы равен диагонали, значит радиус:
\( r = \frac{7}{2} \) см

Площадь поверхности сферы:
\( S = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{7}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{49}{4} = 49\pi \) см\(^2\)

Для того чтобы найти площадь сферы, описанной вокруг прямоугольного параллелепипеда, сначала определим длину его диагонали, ведь именно она будет диаметром описанной сферы. Диагональ вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \), где \( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон параллелепипеда. Подставляем значения: \( a = 2 \) см, \( b = 3 \) см, \( c = 6 \) см. Получаем: \( d = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \) см. Диаметр сферы равен 7 см.

Далее находим радиус сферы, который равен половине диагонали: \( r = \frac{d}{2} = \frac{7}{2} \) см. Формула площади поверхности сферы: \( S = 4\pi r^{2} \). Подставляем найденный радиус: \( S = 4\pi \left(\frac{7}{2}\right)^{2} = 4\pi \cdot \frac{49}{4} \).

Сокращаем множители: \( 4 \) и \( \frac{49}{4} \) дают просто 49, поэтому окончательно получаем: \( S = 49\pi \) см\(^{2} \). Таким образом, площадь поверхности сферы, описанной вокруг данного параллелепипеда, составляет \( 49\pi \) см\(^{2} \).