ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Найдите отношение площади сферы, вписанной в данный конус, к площади сферы, описанной около него.

Пусть радиус сферы, вписанной в конус, равен \( r_1 \), а радиус сферы, описанной около конуса, равен \( r_2 \).

Для конуса с равносторонним треугольником в основании:
\(
\frac{S_{вписанной}}{S_{описанной}} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{1}{4}
\)

Ответ: \(
\frac{S_{вн}}{S_{ок}} = \frac{1}{4}
\)

Осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник. Пусть сторона треугольника равна \( a \). Вписанная сфера касается основания и боковой поверхности конуса. Радиус сферы, вписанной в конус, равен радиусу вписанной окружности равностороннего треугольника, то есть \( r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \). Радиус сферы, описанной около конуса, равен радиусу описанной окружности равностороннего треугольника, то есть \( r_2 = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Площадь сферы вычисляется по формуле \( S = 4\pi r^2 \). Отношение площадей сфер будет равно квадрату отношения их радиусов. Тогда
\(
\frac{S_{вн}}{S_{ок}} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}
\)
Подставляем значения радиусов:
\(
\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2}{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{a^2}{4 \cdot 3}}{\frac{a^2}{3}} = \frac{\frac{a^2}{12}}{\frac{a^2}{3}} = \frac{1}{4}
\)

Таким образом, отношение площадей сферы, вписанной в конус, к площади сферы, описанной около него, равно \( \frac{1}{4} \). На фото это записано как \( \frac{S_{вн}}{S_{ок}} = \frac{1}{4} \).