ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны \(S_1\) и \(S_2\).

Пусть диаметры меньших шаров равны \(a\) и \(b\) (катеты), тогда их площади:
\(S_1 = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi a^2\)
\(S_2 = 4\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \pi b^2\)

Диаметр большего шара равен гипотенузе: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Его площадь: \(S = 4\pi \left(\frac{c}{2}\right)^2 = \pi c^2 = \pi(a^2 + b^2)\)

Тогда \(S = S_1 + S_2\).

Ответ: \(S = S_1 + S_2\)

Рассмотрим три шара, диаметры которых равны сторонам прямоугольного треугольника: \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) — гипотенуза, а \(a\) и \(b\) — катеты. Радиус каждого шара равен половине его диаметра, то есть для первого шара радиус \(r_{1} = \frac{a}{2}\), для второго \(r_{2} = \frac{b}{2}\), для третьего \(r = \frac{c}{2}\). Формула площади поверхности шара имеет вид \(S = 4\pi r^{2}\). Подставляя значения радиусов, получаем площади поверхностей меньших шаров: \(S_{1} = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = 4\pi \frac{a^{2}}{4} = \pi a^{2}\) и \(S_{2} = 4\pi \left(\frac{b}{2}\right)^{2} = 4\pi \frac{b^{2}}{4} = \pi b^{2}\).

Для большего шара, диаметр которого равен гипотенузе \(c\), радиус будет \(r = \frac{c}{2}\). Его площадь поверхности вычисляется аналогично: \(S = 4\pi \left(\frac{c}{2}\right)^{2} = 4\pi \frac{c^{2}}{4} = \pi c^{2}\). По теореме Пифагора, гипотенуза выражается через катеты как \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), поэтому \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). Следовательно, площадь поверхности большего шара равна \(S = \pi c^{2} = \pi (a^{2} + b^{2})\).

Сравнивая площади, видим, что \(S = \pi a^{2} + \pi b^{2} = S_{1} + S_{2}\). Таким образом, площадь поверхности большего шара, диаметр которого равен гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей поверхностей двух меньших шаров, диаметры которых равны катетам этого треугольника: \(S = S_{1} + S_{2}\). Это следствие геометрической связи между сторонами прямоугольного треугольника и свойствами площади поверхности шара.