ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из углов треугольника равен 120°. Стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны \(S_1\) и \(S_2\).

Пусть площади меньших шаров \(S_1\) и \(S_2\), а большего шара — \(S_3\).

Стороны треугольника — диаметры шаров. По теореме косинусов:
\(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos 120^\circ\)

Так как \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\):
\(a^2 = b^2 + c^2 + bc\)

Площади шаров:
\(S_1 = \pi b^2\), \(S_2 = \pi c^2\), \(S_3 = \pi a^2\)

Тогда:
\(S_3 = \pi a^2 = \pi (b^2 + c^2 + bc) = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\)

Ответ:
\(S_3 = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\)

Рассмотрим три шара, диаметр каждого из которых равен стороне треугольника. Пусть диаметры этих шаров равны \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) — диаметр большего шара, а \(b\) и \(c\) — диаметры меньших шаров. Из условия задачи один из углов треугольника равен \(120^\circ\). Пусть напротив этого угла лежит сторона с длиной \(a\). Согласно теореме косинусов для треугольника, имеем: \(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos 120^\circ\). Поскольку \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), подставляем это значение и получаем: \(a^2 = b^2 + c^2 + bc\).

Площадь поверхности шара с диаметром \(d\) вычисляется по формуле \(S = \pi d^2\). Тогда площади меньших шаров равны \(S_1 = \pi b^2\) и \(S_2 = \pi c^2\), а площадь большего шара равна \(S_3 = \pi a^2\). Чтобы выразить \(a^2\) через площади меньших шаров, преобразуем выражения для \(b^2\) и \(c^2\) через площади: \(b^2 = \frac{S_1}{\pi}\), \(c^2 = \frac{S_2}{\pi}\). Кроме того, произведение \(bc\) можно выразить через площади как \(bc = \sqrt{b^2 c^2} = \sqrt{\frac{S_1}{\pi} \cdot \frac{S_2}{\pi}} = \frac{\sqrt{S_1 S_2}}{\pi}\).

Теперь подставим полученные выражения в формулу для площади большего шара: \(S_3 = \pi a^2 = \pi \left(b^2 + c^2 + bc\right) = \pi \left(\frac{S_1}{\pi} + \frac{S_2}{\pi} + \frac{\sqrt{S_1 S_2}}{\pi}\right)\). Раскроем скобки: \(S_3 = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\). Таким образом, площадь поверхности большего шара равна сумме площадей меньших шаров и корню из их произведения. Это выражение полностью соответствует требуемой формуле, полученной через геометрические преобразования и применение теоремы косинусов.