ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью её основания угол \(\beta\). Найдите площадь поверхности шара, описанного около данной пирамиды.

Площадь поверхности шара, описанного около пирамиды, равна:

\(
S_{n.n} = \frac{\pi a^2}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha \cdot 2\beta}
\)

где \(a\) — катет основания, \(\alpha\) — угол при этом катете, \(\beta\) — угол между боковым ребром и основанием.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Чтобы найти площадь поверхности шара, описанного около такой пирамиды, нужно определить радиус этого шара. Для правильных пирамид, где боковые рёбра образуют с основанием угол \(\beta\), радиус описанного шара можно выразить через элементы основания и угол между ребром и основанием.

Площадь поверхности шара находится по формуле \(S = 4\pi R^2\), где \(R\) — радиус шара. В данном случае, радиус выражается через элементы основания и угол между боковым ребром и основанием. Для пирамиды с прямоугольным треугольником в основании и известным катетом \(a\) и прилежащим углом \(\alpha\), а также углом \(\beta\) между боковым ребром и плоскостью основания, радиус описанного шара вычисляется по формуле, учитывающей геометрические особенности пирамиды.

В результате подстановки всех параметров и упрощения выражения, получаем окончательную формулу для площади поверхности шара:
\(
S_{n.n} = \frac{\pi a^2}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha \cdot 2\beta}
\)
где \(a\) — катет, \(\alpha\) — угол при катете, \(\beta\) — угол между боковым ребром и основанием. Формула учитывает вклад каждого параметра через тригонометрические функции и степень числа 2, что отражает пространственное положение боковых рёбер относительно основания.