ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной пирамиды равна \(H\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь поверхности шара, вписанного в данную пирамиду.

Радиус вписанного шара \(r\) равен расстоянию от центра шара до плоскостей граней. Рассмотрим сечение, где двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\), а высота пирамиды \(H\).

В этом сечении \(r = H \cdot \cot \alpha \cdot \tan \frac{\alpha}{2}\), где \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\).

Площадь поверхности вписанного шара равна \(4 \pi r^{2} = 4 \pi H^{2} \cot^{2} \alpha \tan^{2} \frac{\alpha}{2}\).

1. Пусть \(r\) — радиус вписанного шара в правильную треугольную пирамиду с высотой \(H\) и двугранным углом при ребре основания \(\alpha\). Вписанный шар касается всех граней пирамиды, следовательно, его центр находится на одинаковом расстоянии \(r\) от каждой из граней. Для вычисления \(r\) рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через высоту и ребро основания, в котором двугранный угол равен \(\alpha\).

2. В этом сечении высота пирамиды равна \(H\), а двугранный угол при ребре основания — \(\alpha\). Радиус вписанного шара — это расстояние от центра шара до плоскости основания и боковой грани. Из геометрии треугольника с углом \(\alpha\) и высотой \(H\) следует, что \(r\) выражается через высоту и углы следующим образом:
\[
r = H \cdot \cot \alpha \cdot \tan \frac{\alpha}{2}.
\]
Здесь \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\), а \(\tan \frac{\alpha}{2}\) — тангенс половинного угла.

3. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле
\[
4 \pi r^{2}.
\]
Подставляя выражение для \(r\), получаем
\[
4 \pi \left(H \cdot \cot \alpha \cdot \tan \frac{\alpha}{2}\right)^{2} = 4 \pi H^{2} \cot^{2} \alpha \tan^{2} \frac{\alpha}{2}.
\]
Таким образом, площадь поверхности вписанного шара зависит от квадрата высоты пирамиды и функций угла \(\alpha\), что отражает геометрическую связь между высотой, углом и радиусом вписанного шара.