ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружность вписан четырёхугольник \(ABCD\). Угол \(A\) в 3 раза больше угла \(C\), а угол \(B\) в 5 раз меньше угла \(A\). Найдите угол \(D\).

Пусть угол \(A = x\), тогда \(C = \frac{x}{3}\), \(B = \frac{x}{5}\). Вписанный четырёхугольник: \(A + B + C + D = 360^{\circ}\), а также \(A + C = B + D\).

Из равенства противоположных углов: \(x + \frac{x}{3} = \frac{x}{5} + D\), следовательно, \(D = \frac{4x}{3} — \frac{x}{5} = \frac{17x}{15}\).

Сумма всех углов: \(x + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{17x}{15} = 360^{\circ}\), то есть \(\frac{40x}{15} = 360^{\circ}\), отсюда \(x = 135^{\circ}\).

Тогда \(D = \frac{17 \cdot 135^{\circ}}{15} = 153^{\circ}\).

Пусть угол \(A\) обозначим как \(x\). По условию угол \(C\) в три раза меньше угла \(A\), значит \(C = \frac{x}{3}\). Угол \(B\) в пять раз меньше угла \(A\), поэтому \(B = \frac{x}{5}\). Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\), то есть \(A + C = B + D\). Подставим выражения для углов:

\(x + \frac{x}{3} = \frac{x}{5} + D\)

Сложим \(x\) и \(\frac{x}{3}\), приведя к общему знаменателю:

\(x + \frac{x}{3} = \frac{3x}{3} + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3}\)

Теперь выразим угол \(D\):

\(\frac{4x}{3} = \frac{x}{5} + D\)

Перенесём \(\frac{x}{5}\) влево:

\(\frac{4x}{3} — \frac{x}{5} = D\)

Приведём к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель — 15):

\(\frac{4x}{3} — \frac{x}{5} = \frac{20x}{15} — \frac{3x}{15} = \frac{17x}{15}\)

То есть \(D = \frac{17x}{15}\).

Далее, сумма всех углов четырёхугольника \(360^{\circ}\):

\(A + B + C + D = 360^{\circ}\)

Подставим все выражения:

\(x + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{17x}{15} = 360^{\circ}\)

Приведём все слагаемые к общему знаменателю (15):

\(x = \frac{15x}{15}\), \(\frac{x}{3} = \frac{5x}{15}\), \(\frac{x}{5} = \frac{3x}{15}\), \(\frac{17x}{15}\) — уже с нужным знаменателем.

Сложим:

\(\frac{15x}{15} + \frac{5x}{15} + \frac{3x}{15} + \frac{17x}{15} = \frac{40x}{15}\)

Получаем уравнение:

\(\frac{40x}{15} = 360^{\circ}\)

Умножим обе части на 15:

\(40x = 360^{\circ} \cdot 15 = 5400^{\circ}\)

Разделим на 40:

\(x = \frac{5400^{\circ}}{40} = 135^{\circ}\)

Теперь найдём угол \(D\):

\(D = \frac{17x}{15} = \frac{17 \cdot 135^{\circ}}{15} = \frac{2295^{\circ}}{15} = 153^{\circ}\)