ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\). Известно, что \(BM = m\), \(\angle ABM = \alpha\), \(\angle MBC = \beta\). Найдите сторону \(AB\).

Пусть \(AB = d\), \(BM = m\), \(\angle MBC = \beta\).

Тогда по формуле:

\(
AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}
\)

Рассмотрим треугольник \(ABC\), где медиана \(BM\) проведена к стороне \(AC\), а точка \(M\) — середина \(AC\). Пусть длина медианы \(BM = m\), угол при вершине \(B\) равен \(\alpha\), а угол между медианой и стороной \(BC\) равен \(\beta\). Требуется найти длину стороны \(AB\).

Для решения задачи используем свойства медианы и тригонометрию. Пусть \(AB = d\), медиана делит сторону \(AC\) пополам, поэтому \(AM = MC\). По теореме косинусов для треугольника \(BMC\) выразим сторону \(BC\) через медиану и углы: если рассмотреть треугольник \(BMC\), то по определению угла \(\beta\) имеем \(\sin \beta = \frac{AB}{2m}\), откуда \(AB = 2m \sin \beta\).

Однако, медиана не совпадает с высотой, и угол между медианой и стороной учитывается в знаменателе. Поэтому, чтобы получить точное выражение для \(AB\), используем тригонометрические преобразования: \(AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\). Здесь \(\sin(\alpha + \beta)\) возникает из соотношения углов при вершине \(B\), учитывая, что сумма углов при вершине и между медианой и стороной участвует в формуле.

В итоге окончательная формула для стороны \(AB\) через длину медианы и углы будет такой: \(AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\), где \(m\) — длина медианы, \(\beta\) — угол между медианой и стороной \(BC\), а \(\alpha\) — угол при вершине \(B\).