ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Модуль вектора \(\vec{a} (2; m + 1; m + 5)\) равен \(2\sqrt{3}\). Коллинеарен ли вектор \(\vec{a}\) вектору \(\vec{b} (-1; m + 4; m + 2)\)?

Модуль вектора:
\(\sqrt{4 + (m + 1)^2 + (m + 5)^2} = 2\sqrt{3}\)

Раскрываем скобки:
\(\sqrt{4 + m^2 + 2m + 1 + m^2 + 10m + 25} = 2\sqrt{3}\)

Собираем подобные:
\(\sqrt{2m^2 + 12m + 30} = 2\sqrt{3}\)

Возводим в квадрат:
\(2m^2 + 12m + 30 = 12\)

\(2m^2 + 12m + 18 = 0\)

\(m^2 + 6m + 9 = 0\)

\((m + 3)^2 = 0\)

\(m = -3\)

Векторы:
\(\vec{a}(2; -2; 2)\)
\(\vec{b}(-1; 1; -1)\)

Проверяем коллинеарность:
\(\frac{2}{-1} = \frac{-2}{1} = \frac{2}{-1}\)

Векторы коллинеарны.

Для нахождения значения \(m\) воспользуемся условием, что модуль вектора \(\vec{a}(2; m + 1; m + 5)\) равен \(2\sqrt{3}\). Формула длины вектора:
\(\sqrt{2^{2} + (m + 1)^{2} + (m + 5)^{2}} = 2\sqrt{3}\).
Раскрываем скобки и упрощаем выражение под корнем:
\(2^{2} + (m + 1)^{2} + (m + 5)^{2} = 4 + (m^{2} + 2m + 1) + (m^{2} + 10m + 25)\).
Собираем все члены:
\(4 + m^{2} + 2m + 1 + m^{2} + 10m + 25 = 2m^{2} + 12m + 30\).
Получаем уравнение:
\(\sqrt{2m^{2} + 12m + 30} = 2\sqrt{3}\).
Возводим обе части в квадрат:
\(2m^{2} + 12m + 30 = 12\).
Переносим всё в одну сторону:
\(2m^{2} + 12m + 18 = 0\).
Делим на 2:
\(m^{2} + 6m + 9 = 0\).
Это квадратное уравнение, которое можно свернуть по формуле квадрата суммы:
\((m + 3)^{2} = 0\), откуда \(m = -3\).

Теперь подставим найденное значение \(m\) в координаты векторов:
\(\vec{a}(2; m + 1; m + 5) = (2; -3 + 1; -3 + 5) = (2; -2; 2)\)
\(\vec{b}(-1; m + 4; m + 2) = (-1; -3 + 4; -3 + 2) = (-1; 1; -1)\)

Проверим, являются ли векторы коллинеарными. Для этого сравним соответствующие координаты, если существует одно и то же отношение между всеми координатами:
\(\frac{2}{-1} = -2\),
\(\frac{-2}{1} = -2\),
\(\frac{2}{-1} = -2\).
Все отношения равны \(-2\), значит, векторы коллинеарны.

В результате, при \(m = -3\) вектор \(\vec{a}\) действительно коллинеарен вектору \(\vec{b}\), так как их координаты пропорциональны одному и тому же числу.