ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 20.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Объёмы двух шаров относятся как 27 : 125. Как относятся площади их поверхностей?

Объёмы двух шаров относятся как \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125} \).

Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату радиуса, а объём — кубу радиуса:
\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), \( S = 4 \pi r^2 \).

Пусть радиусы шаров \( r_1 \) и \( r_2 \), тогда:
\( \frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \frac{27}{125} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5} \).

Отношение площадей поверхностей:
\( \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} \).

Из условия задачи известно, что отношение объёмов двух шаров равно \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125} \). Формула объёма шара: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Таким образом, объём зависит от радиуса в третьей степени. Если обозначить радиусы двух шаров как \( r_1 \) и \( r_2 \), то отношение объёмов можно записать как \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \).

Далее находим отношение радиусов, извлекая кубический корень из обеих частей равенства: \( \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{27}{125} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5} \). То есть радиус первого шара составляет \( \frac{3}{5} \) радиуса второго шара.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле \( S = 4 \pi r^2 \), то есть зависит от квадрата радиуса. Тогда отношение площадей поверхностей двух шаров будет равно \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \). Подставляем найденное ранее отношение радиусов: \( \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} \).

Таким образом, если объёмы двух шаров относятся как \( 27 : 125 \), то площади их поверхностей относятся как \( 9 : 25 \).