ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \( A (1; 0; 1) \), \( B (2; 1; -1) \) и \( C (-1; 2; 0) \). Найдите координаты точки \( D \) такой, что \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \emptyset \).

Даны точки \(A(1;0;1)\), \(B(2;1;-1)\), \(C(-1;2;0)\). Найдём вектор \(\overrightarrow{AB} = (2-1; 1-0; -1-1) = (1;1;-2)\).

Пусть \(D(x;y;z)\). Тогда \(\overrightarrow{CD} = (x+1; y-2; z-0) = (x+1; y-2; z)\).

По условию \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \emptyset\), значит \((1;1;-2) + (x+1; y-2; z) = (0;0;0)\).

Решаем систему: \(1 + x + 1 = 0\), \(1 + y — 2 = 0\), \(-2 + z = 0\).

Получаем \(x = -2\), \(y = 1\), \(z = 2\).

Ответ: \(D(-2;1;2)\).

1. Даны точки \(A(1;0;1)\), \(B(2;1;-1)\), \(C(-1;2;0)\).

2. Найдём вектор \(\overrightarrow{AB} = (2-1; 1-0; -1-1) = (1;1;-2)\).

3. Пусть точка \(D(x;y;z)\). Тогда вектор \(\overrightarrow{CD} = (x+1; y-2; z-0) = (x+1; y-2; z)\).

4. По условию задачи \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \emptyset\), то есть \((1;1;-2) + (x+1; y-2; z) = (0;0;0)\).

5. Запишем систему уравнений по координатам:
\(1 + x + 1 = 0\),
\(1 + y — 2 = 0\),
\(-2 + z = 0\).

6. Упростим каждое уравнение:
\(x + 2 = 0\),
\(y — 1 = 0\),
\(z = 2\).

7. Решаем систему:
\(x = -2\),
\(y = 1\),
\(z = 2\).

8. Точка \(D\) имеет координаты \((-2; 1; 2)\).

9. Проверим:
\(\overrightarrow{CD} = (-2 + 1; 1 — 2; 2 — 0) = (-1; -1; 2)\),
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (1;1;-2) + (-1;-1;2) = (0;0;0)\).

10. Ответ: \(D(-2; 1; 2)\).