ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

 Медианы грани \(BDC\) тетраэдра \(DABC\) пересекаются в точке \(O\), точка \(M\) — середина ребра \(AD\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MO}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Точка \(M\) — середина ребра \(AD\), значит \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\).

Точка \(O\) — точка пересечения медиан треугольника \(BDC\), поэтому \(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC})\).

Векторы \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}\).

Подставляем: \(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} — 2\overrightarrow{AB})\).

Вектор \(\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BO}\), где \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\).

Подставляем и приводим подобные: \(\overrightarrow{MO} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{6} \overrightarrow{AD}\).

1. Точка \(M\) — середина ребра \(AD\), значит вектор \(\overrightarrow{AM}\) равен половине вектора \(\overrightarrow{AD}\), то есть \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\).

2. Точка \(O\) — точка пересечения медиан треугольника \(BDC\). Медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Вектор от вершины \(B\) к точке пересечения медиан \(O\) равен третьей части суммы векторов \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC})\).

3. Векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) выразим через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\):
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}\).

4. Подставим выражения в формулу для \(\overrightarrow{BO}\):
\(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}((\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB})) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} — 2\overrightarrow{AB})\).

5. Вектор \(\overrightarrow{MO}\) можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{MB}\) и \(\overrightarrow{BO}\):
\(\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BO}\).

6. Вектор \(\overrightarrow{MB}\) равен разности векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\):
\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\).

7. Подставим выражения для \(\overrightarrow{MB}\) и \(\overrightarrow{BO}\) в формулу для \(\overrightarrow{MO}\):
\(\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} — 2\overrightarrow{AB})\).

8. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
\(\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} — \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}\).

9. Приведём коэффициенты при одинаковых векторах:
\(\overrightarrow{MO} = \left(1 — \frac{2}{3}\right) \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \overrightarrow{AD}\).

10. Посчитаем численные коэффициенты:
\(\overrightarrow{MO} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{6} \overrightarrow{AD}\).