ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите косинус угла между векторами \(\vec{a} (2; 2; 1)\) и \(\vec{b} (6; -2; -3)\).

Косинус угла между векторами \(\vec{a} (2; 2; 1)\) и \(\vec{b} (6; -2; -3)\) вычисляется по формуле \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).

Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 6 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-3) = 5\).

Длины векторов: \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\), \(|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = 7\).

Подставляем в формулу: \(\cos(\theta) = \frac{5}{3 \cdot 7} = \frac{5}{21}\).

1. Даны векторы \(\vec{a} = (2; 2; 1)\) и \(\vec{b} = (6; -2; -3)\).

2. Найдём скалярное произведение векторов по формуле \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\).

3. Подставляем значения: \(2 \cdot 6 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-3) = 12 — 4 — 3 = 5\).

4. Найдём длину вектора \(\vec{a}\) по формуле \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}\).

5. Подставляем значения: \(\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).

6. Найдём длину вектора \(\vec{b}\) по формуле \(|\vec{b}| = \sqrt{b_1^{2} + b_2^{2} + b_3^{2}}\).

7. Подставляем значения: \(\sqrt{6^{2} + (-2)^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7\).

8. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).

9. Подставляем найденные значения: \(\cos(\theta) = \frac{5}{3 \cdot 7} = \frac{5}{21}\).

10. Ответ: \(\cos(\theta) = \frac{5}{21}\).