ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

 Даны точки \(A (8; 0; 4)\), \(B (13; 4; 7)\), \(C (11; -3; 3)\).

1) Докажите, что треугольник \(ABC\) — прямоугольный.

2) Найдите площадь круга, описанного около треугольника \(ABC\).

1)
Находим стороны: \( AB = 5\sqrt{2} \), \( BC = \sqrt{69} \), \( AC = \sqrt{19} \).
Так как \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), треугольник прямоугольный.

2)
Радиус описанной окружности: \( R = \frac{\sqrt{69}}{2} \).
Площадь круга: \( S = \pi \frac{69}{4} \).

1)
Вычисляем длины сторон по формуле расстояния между точками:
\( AB = \sqrt{(13 — 8)^2 + (4 — 0)^2 + (7 — 4)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = 5\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(11 — 13)^2 + (-3 — 4)^2 + (3 — 7)^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69} \)
\( AC = \sqrt{(8 — 11)^2 + (0 + 3)^2 + (4 — 3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \)
Проверяем прямоугольность:
\( AC^2 + AB^2 = 19 + 50 = 69 = BC^2 \), значит, треугольник \( ABC \) прямоугольный.

2)
Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:
\( R = \frac{\sqrt{69}}{2} \)
Площадь круга:
\( S = \pi R^2 = \pi \frac{69}{4} \)