ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол между вектором \(\vec{a} (-1; 2; 5)\) и положительным направлением оси абсцисс.

Найдем длину вектора \(a\): \( |a| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{30} \).

Скалярное произведение с вектором оси \(x\) (1,0,0): \( a \cdot i = -1 \).

Косинус угла между векторами: \( \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{30}} \).

Так как косинус отрицательный, угол \( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{1}{\sqrt{30}} \).

Упростим: \( \frac{1}{\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{30}}{30} \).

Ответ: \( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{\sqrt{30}}{30} \).

1. Дано вектор \( a = (-1, 2, 5) \).

2. Вектор оси абсцисс \( i = (1, 0, 0) \).

3. Найдем длину вектора \( a \): \( |a| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30} \).

4. Найдем длину вектора \( i \): \( |i| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \).

5. Найдем скалярное произведение векторов \( a \) и \( i \): \( a \cdot i = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = -1 \).

6. Выражаем косинус угла \( \theta \) между векторами: \( \cos \theta = \frac{a \cdot i}{|a| \cdot |i|} = \frac{-1}{\sqrt{30} \cdot 1} = \frac{-1}{\sqrt{30}} \).

7. Так как косинус отрицательный, угол \( \theta \) больше 90°, следовательно \( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{1}{\sqrt{30}} \).

8. Упростим выражение: \( \frac{1}{\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{30}}{30} \).

9. Подставляем упрощенный вид в формулу угла: \( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{\sqrt{30}}{30} \).

10. Итоговый ответ: \( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{\sqrt{30}}{30} \).