ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 2\sqrt{2}\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ\). Найдите \(|\vec{a} — \vec{b}|\).

Длина разности векторов вычисляется по формуле \( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 — 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta + |\vec{b}|^2} \).

Подставляем данные: \( |\vec{a}| = 2 \), \( |\vec{b}| = 2\sqrt{2} \), \( \theta = 135^\circ \).

Вычисляем косинус: \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставляем в формулу: \( \sqrt{4 — 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8} \).

Упрощаем: \( \sqrt{4 + 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 8} = \sqrt{4 + 4 + 8} = \sqrt{16} \).

Ответ: \( 4 \).

1. Дано: \( |\vec{a}| = 2 \), \( |\vec{b}| = 2\sqrt{2} \), угол между векторами \( \theta = 135^\circ \).

2. Нужно найти длину вектора \( |\vec{a} — \vec{b}| \).

3. Формула для длины разности векторов:
\( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^{2} — 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta + |\vec{b}|^{2}} \).

4. Подставляем известные значения в формулу:
\( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{2^{2} — 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ + (2\sqrt{2})^{2}} \).

5. Вычисляем косинус угла:
\( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

6. Подставляем значение косинуса:
\( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{4 — 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8} \).

7. Упрощаем выражение:
\( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{4 + 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 8} \).

8. Сокращаем множители:
\( 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).

9. Умножаем подкоренное выражение:
\( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \), значит
\( 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot 1 = 4 \).

10. Итоговое вычисление:
\( |\vec{a} — \vec{b}| = \sqrt{4 + 4 + 8} = \sqrt{16} = 4 \).