ГДЗ Мерзляк 11 Класс по Геометрии Базовый Уровень Номировский Учебник 📕 Полонский — Все Части

Геометрия Базовый Уровень

11 класс Базовый Уровень Учебник Мерзляк

11 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С.

Год

2019

Издательство

Вентана-Граф

Описание

Учебник «Геометрия. 11 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического и доступного изучения геометрии на выпускном этапе школы. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все основные темы курса геометрии для 11 класса, позволяя ученикам уверенно освоить базовые понятия и подготовиться к итоговой аттестации.

ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точка \(M\) — середина ребра \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\). Найдите угол между прямыми \(MB_1\) и \(DK\).

Краткий ответ:

Пусть длина ребра куба равна 1. Координаты точек: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\).

Точка \(M\) — середина \(AB\), значит \(M\left(\frac{1}{2},0,0\right)\), точка \(K\) — середина \(A_1B_1\), значит \(K\left(\frac{1}{2},0,1\right)\).

Вектор \(MB_1 = B_1 — M = \left(1-\frac{1}{2},0-0,1-0\right) = \left(\frac{1}{2},0,1\right)\).

Вектор \(DK = K — D = \left(\frac{1}{2}-0,0-1,1-0\right) = \left(\frac{1}{2},-1,1\right)\).

Скалярное произведение: \(MB_1 \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = \frac{1}{4} + 0 + 1 = \frac{5}{4}\).

Длины векторов: \(|MB_1| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}\), \(|DK| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \frac{3}{2}\).

Косинус угла: \(\cos \theta = \frac{MB_1 \cdot DK}{|MB_1| |DK|} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

Ответ: угол между прямыми \(MB_1\) и \(DK\) равен \(\arccos \frac{\sqrt{5}}{3}\).

Подробный ответ:

1. Пусть длина ребра куба равна 1. Назначим координаты вершин куба: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), значит координаты \(M\) равны \(M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)\).

3. Точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\), значит координаты \(K\) равны \(K\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)\).

4. Вектор направления прямой \(MB_1\) равен разности координат: \(\overrightarrow{MB_1} = B_1 — M = (1,0,1) — \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)\).

5. Вектор направления прямой \(DK\) равен разности координат: \(\overrightarrow{DK} = K — D = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right) — (0,1,0) = \left(\frac{1}{2}, -1, 1\right)\).

6. Вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MB_1}\) и \(\overrightarrow{DK}\): \(\overrightarrow{MB_1} \cdot \overrightarrow{DK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = \frac{1}{4} + 0 + 1 = \frac{5}{4}\).

7. Найдём длину вектора \(\overrightarrow{MB_1}\): \(|\overrightarrow{MB_1}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

8. Найдём длину вектора \(\overrightarrow{DK}\): \(|\overrightarrow{DK}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + (-1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + 1} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\).

9. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{MB_1} \cdot \overrightarrow{DK}}{|\overrightarrow{MB_1}| \cdot |\overrightarrow{DK}|} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3 \sqrt{5}}{4}} = \frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

10. Таким образом, угол между прямыми \(MB_1\) и \(DK\) равен \(\arccos \frac{\sqrt{5}}{3}\).

Оцени решение