ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(O_1\) — центр грани \(A_1B_1C_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(O_2\) — центр грани \(CC_1D_1D\). Найдите угол \(BO_1O_2\).

Пусть ребро куба равно 1. Координаты точек: \(B(1,0,0)\), \(O_1(0.5,0.5,1)\) — центр верхней грани, \(O_2(0.5,1,0.5)\) — центр боковой грани.

Векторы: \(\overrightarrow{O_1B} = (0.5,-0.5,-1)\), \(\overrightarrow{O_1O_2} = (0,0.5,-0.5)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{O_1B} \cdot \overrightarrow{O_1O_2} = 0.25\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{O_1B}| = \sqrt{\frac{3}{2}}\), \(|\overrightarrow{O_1O_2}| = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Косинус угла: \(\cos \theta = \frac{0.25}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}\).

Ответ: угол \(BO_1O_2 = \arccos \frac{\sqrt{3}}{6}\).

1. Пусть ребро куба равно 1. Зададим координаты вершин куба: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Найдём координаты точки \(O_1\) — центра грани \(A_1B_1C_1D_1\). Это среднее арифметическое координат угловых точек грани:

\(O_1 = \left(\frac{0+1+1+0}{4}, \frac{0+0+1+1}{4}, \frac{1+1+1+1}{4}\right) = (0.5, 0.5, 1)\).

3. Найдём координаты точки \(O_2\) — центра грани \(CC_1D_1D\):

\(O_2 = \left(\frac{1+1+0+0}{4}, \frac{1+1+1+1}{4}, \frac{0+1+1+0}{4}\right) = (0.5, 1, 0.5)\).

4. Координаты точки \(B\) заданы как \(B(1,0,0)\).

5. Найдём вектор \(\overrightarrow{O_1B}\):

\(\overrightarrow{O_1B} = B — O_1 = (1 — 0.5, 0 — 0.5, 0 — 1) = (0.5, -0.5, -1)\).

6. Найдём вектор \(\overrightarrow{O_1O_2}\):

\(\overrightarrow{O_1O_2} = O_2 — O_1 = (0.5 — 0.5, 1 — 0.5, 0.5 — 1) = (0, 0.5, -0.5)\).

7. Вычислим скалярное произведение векторов:

\(\overrightarrow{O_1B} \cdot \overrightarrow{O_1O_2} = 0.5 \cdot 0 + (-0.5) \cdot 0.5 + (-1) \cdot (-0.5) = 0 — 0.25 + 0.5=\)
\( = 0.25\).

8. Найдём длины векторов:

\(|\overrightarrow{O_1B}| = \sqrt{0.5^{2} + (-0.5)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{0.25 + 0.25 + 1} = \sqrt{1.5} = \sqrt{\frac{3}{2}}\).

\(|\overrightarrow{O_1O_2}| = \sqrt{0^{2} + 0.5^{2} + (-0.5)^{2}} = \sqrt{0 + 0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

9. Используем формулу косинуса угла между векторами:

\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{O_1B} \cdot \overrightarrow{O_1O_2}}{|\overrightarrow{O_1B}| \cdot |\overrightarrow{O_1O_2}|} = \frac{0.25}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\).

10. Упростим знаменатель:

\(\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Тогда

\(\cos \theta = \frac{0.25}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0.25 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{0.5}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}\).

Ответ: угол \(BO_1O_2 = \arccos \frac{\sqrt{3}}{6}\).