ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка \(AB\) и перпендикулярной ему, если \(A(7; -4; 3)\), \(B(-1; 0; 1)\).

Середина отрезка \(AB\) вычисляется как \(M\left(\frac{7 + (-1)}{2}, \frac{-4 + 0}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = (3, -2, 2)\).

Вектор \( \overrightarrow{AB} = (-1 — 7, 0 — (-4), 1 — 3) = (-8, 4, -2)\).

Уравнение плоскости, проходящей через \(M\) и перпендикулярной \( \overrightarrow{AB} \), имеет вид \(-8(x — 3) + 4(y + 2) — 2(z — 2) = 0\).

Раскрываем скобки и упрощаем: \(-8x + 24 + 4y + 8 — 2z + 4 = 0\), то есть \(-8x + 4y — 2z + 36 = 0\).

Делим уравнение на \(-2\), получаем \(4x — 2y + z — 18 = 0\).

1. Найдём координаты середины отрезка \(AB\). Для этого сложим соответствующие координаты точек \(A(7, -4, 3)\) и \(B(-1, 0, 1)\) и разделим результат на 2: \(M\left(\frac{7 + (-1)}{2}, \frac{-4 + 0}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = (3, -2, 2)\).

2. Найдём координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), вычтя координаты точки \(A\) из координат точки \(B\): \(\overrightarrow{AB} = (-1 — 7, 0 — (-4), 1 — 3) = (-8, 4, -2)\).

3. Плоскость проходит через точку \(M(3, -2, 2)\) и перпендикулярна вектору \(\overrightarrow{AB}\). Уравнение плоскости в общем виде можно записать как: \(a(x — x_0) + b(y — y_0) + c(z — z_0) = 0\), где \((a, b, c)\) — координаты нормального вектора, а \((x_0, y_0, z_0)\) — точка на плоскости.

4. Подставим в уравнение координаты нормального вектора \(\overrightarrow{AB} = (-8, 4, -2)\) и точки \(M\): \(-8(x — 3) + 4(y + 2) — 2(z — 2) = 0\).

5. Раскроем скобки: \(-8x + 24 + 4y + 8 — 2z + 4 = 0\).

6. Сложим свободные члены: \(24 + 8 + 4 = 36\), получаем уравнение \(-8x + 4y — 2z + 36 = 0\).

7. Для удобства упростим уравнение, разделив все коэффициенты на \(-2\): \(4x — 2y + z — 18 = 0\).

8. Итоговое уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка \(AB\) и перпендикулярной вектору \(\overrightarrow{AB}\), имеет вид \(4x — 2y + z — 18 = 0\).