ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M(1; -4; 2)\) — основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость \(\alpha\). Составьте уравнение плоскости \(\alpha\).

Точка \(M(1; -4; 2)\) — основание перпендикуляра из начала координат, значит вектор \(\vec{n} = (1; -4; 2)\) нормален к плоскости.

Уравнение плоскости с нормалью \(\vec{n}\), проходящей через \(M\), имеет вид \(1(x — 1) — 4(y + 4) + 2(z — 2) = 0\).

Раскрываем скобки: \(x — 1 — 4y — 16 + 2z — 4 = 0\).

Собираем: \(x — 4y + 2z — 21 = 0\).

1. Дана точка \(M(1; -4; 2)\), которая является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат \(O(0; 0; 0)\) на плоскость \(\alpha\).

2. Вектор \( \overrightarrow{OM} \) от начала координат к точке \(M\) равен \( (1; -4; 2) \). Этот вектор перпендикулярен плоскости \(\alpha\), следовательно, он является нормальным вектором плоскости.

3. Обозначим нормальный вектор плоскости как \(\vec{n} = (A; B; C) = (1; -4; 2)\).

4. Уравнение плоскости с нормалью \(\vec{n} = (A; B; C)\), проходящей через точку \(M(x_0; y_0; z_0)\), имеет вид: \(A(x — x_0) + B(y — y_0) + C(z — z_0) = 0\).

5. Подставляем значения: \(1(x — 1) — 4(y — (-4)) + 2(z — 2) = 0\).

6. Раскрываем скобки: \(x — 1 — 4(y + 4) + 2(z — 2) = 0\).

7. Раскрываем оставшиеся скобки: \(x — 1 — 4y — 16 + 2z — 4 = 0\).

8. Суммируем свободные члены: \(-1 — 16 — 4 = -21\).

9. Получаем уравнение плоскости: \(x — 4y + 2z — 21 = 0\).

10. Таким образом, уравнение плоскости \(\alpha\) имеет вид \(x — 4y + 2z — 21 = 0\).