ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( AC \), если известно, что \( A (1; 1; -2) \), \( C (-3; 3; 2) \), а точка \( B \) принадлежит оси аппликат.

Найдём длину основания \( AC \): \( A(1;1;-2), C(-3;3;2) \), тогда \( AC = \sqrt{(-3 — 1)^2 + (3 — 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6 \).

Точка \( B \) лежит на оси \( OZ \), значит \( B = (0;0;b) \). Равнобедренность треугольника с основанием \( AC \) даёт равенство \( AB = BC \), где \( AB = \sqrt{2 + (b + 2)^2} \), \( BC = \sqrt{18 + (b — 2)^2} \).

Приравниваем и решаем: \( 2 + (b + 2)^2 = 18 + (b — 2)^2 \), получаем \( b = 2 \), значит \( B = (0;0;2) \).

Высота треугольника равна расстоянию от \( B \) до прямой \( AC \), вычисляем векторы \( \overrightarrow{AC} = (-4;2;4) \), \( \overrightarrow{AB} = (-1;-1;4) \), высота \( h = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AC}|} \).

Векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-12;-12;-6) \), его длина \( 18 \), длина \( AC = 6 \), значит \( h = \frac{18}{6} = 3 \).

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \).

1. Для начала найдём длину основания треугольника \( AC \). Координаты точек \( A \) и \( C \) заданы как \( A(1; 1; -2) \) и \( C(-3; 3; 2) \). Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле \( AC = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 + (z_C — z_A)^2} \). Подставим значения: \( AC = \sqrt{(-3 — 1)^2 + (3 — 1)^2 + (2 — (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} =\)
\(= \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \). Таким образом, длина основания равна 6 единицам.

2. Следующий шаг — определить координаты точки \( B \), которая принадлежит оси аппликат. Ось аппликат — это ось \( OZ \), где координаты \( x \) и \( y \) равны нулю, а \( z \) может быть любым числом. Значит, \( B = (0; 0; b) \), где \( b \) — неизвестное число. Поскольку треугольник равнобедренный с основанием \( AC \), то стороны \( AB \) и \( BC \) равны по длине. Найдём выражения для этих длин. Расстояние \( AB = \sqrt{(0 — 1)^2 + (0 — 1)^2 + (b — (-2))^2} = \sqrt{1 + 1 + (b + 2)^2} =\)
\(= \sqrt{2 + (b + 2)^2} \). Аналогично, \( BC = \sqrt{(-3 — 0)^2 + (3 — 0)^2 + (2 — b)^2} = \sqrt{9 + 9 + (2 — b)^2}=\)
\( = \sqrt{18 + (b — 2)^2} \).

3. Приравниваем длины \( AB \) и \( BC \) для нахождения \( b \): \( \sqrt{2 + (b + 2)^2} = \sqrt{18 + (b — 2)^2} \). Возводим обе части в квадрат: \( 2 + (b + 2)^2 = 18 + (b — 2)^2 \). Раскроем скобки: \( 2 + b^2 + 4b + 4 = 18 + b^2 — 4b + 4 \). Упростим, сократив \( b^2 \) с обеих сторон: \( 6 + 4b = 22 — 4b \). Переносим слагаемые: \( 4b + 4b = 22 — 6 \), то есть \( 8b = 16 \), откуда \( b = 2 \). Значит, координаты точки \( B \) равны \( (0; 0; 2) \).

4. Теперь найдём высоту треугольника, которая опущена из вершины \( B \) на основание \( AC \). Высота равна расстоянию от точки \( B \) до прямой \( AC \). Для этого сначала вычислим вектор \( \overrightarrow{AC} = (x_C — x_A; y_C — y_A; z_C — z_A) = (-4; 2; 4) \) и вектор \( \overrightarrow{AB} = (x_B — x_A; y_B — y_A; z_B — z_A) = (-1; -1; 4) \). Высота \( h = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AC}|} \), где \( \times \) — векторное произведение.

5. Вычислим векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

\( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & 4 \\ -4 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(4) — 4(2)) — \mathbf{j}((-1)(4) — 4(-4)) +\)
\(+ \mathbf{k}((-1)(2) — (-1)(-4)) = -12\mathbf{i} — 12\mathbf{j} — 6\mathbf{k} \).

Модуль этого вектора равен \( \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + (-6)^2} = \sqrt{144 + 144 + 36} = \sqrt{324} = 18 \).

6. Длина основания \( AC \) уже найдена и равна 6. Тогда высота:

\( h = \frac{18}{6} = 3 \).

7. Площадь равнобедренного треугольника с основанием \( AC \) и высотой \( h \) вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \times AC \times h \). Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \).

Ответ: \( S = 9 \).