ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите значения \(a\) и \(b\), при которых плоскости \(ax — 4y + 5z — 7 = 0\) и \(3x + by — 2z + 2 = 0\) параллельны.

Для параллельности плоскостей нормальные векторы должны быть коллинеарны: \(\frac{a}{3} = \frac{-4}{b} = \frac{5}{-2}\).

Решаем первое равенство: \( \frac{a}{3} = -\frac{5}{2} \Rightarrow a = 3 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{15}{2} = -7.5 \).

Решаем второе равенство: \(\frac{-4}{b} = -\frac{5}{2} \Rightarrow -4 = -\frac{5}{2} b \Rightarrow b = \frac{8}{5} = 1.6\).

Ответ: \(a = -7.5\), \(b = 1.6\).

1. Для того чтобы плоскости были параллельны, необходимо, чтобы их нормальные векторы были коллинеарны, то есть один вектор можно было получить умножением другого на некоторое число. Нормальный вектор первой плоскости задаётся коэффициентами при \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнении: \((a, -4, 5)\). Аналогично, нормальный вектор второй плоскости — это \((3, b, -2)\). Чтобы нормальные векторы были коллинеарны, должны выполняться равенства между соответствующими компонентами векторов в виде пропорций: \(\frac{a}{3} = \frac{-4}{b} = \frac{5}{-2}\). Это условие гарантирует, что направления векторов совпадают, и, следовательно, плоскости параллельны.

2. Рассмотрим первое равенство из пропорций: \(\frac{a}{3} = \frac{5}{-2}\). Здесь мы связываем первую координату нормального вектора первой плоскости с первой координатой нормального вектора второй плоскости. Чтобы найти \(a\), умножим обе части равенства на 3: \(a = 3 \cdot \frac{5}{-2}\). Выполним умножение: \(3 \cdot \frac{5}{-2} = \frac{15}{-2}\). Это дробное число можно записать в десятичном виде как \(-7.5\). Таким образом, мы получили значение \(a = -7.5\), которое обеспечивает коллинеарность по первой координате.

3. Теперь рассмотрим второе равенство: \(\frac{-4}{b} = \frac{5}{-2}\). Здесь связываются вторые координаты нормальных векторов. Для удобства преобразуем это равенство, умножив обе части на \(b\), чтобы избавиться от знаменателя слева: \(-4 = \frac{5}{-2} b\). Далее умножим обе части на \(-2\), чтобы убрать знаменатель справа: \(-4 \cdot (-2) = 5b\), что даёт \(8 = 5b\). Наконец, найдём \(b\), разделив обе части на 5: \(b = \frac{8}{5} = 1.6\). Полученное значение \(b = 1.6\) обеспечивает коллинеарность по второй координате.

4. Значения \(a = -7.5\) и \(b = 1.6\) одновременно удовлетворяют условию коллинеарности нормальных векторов, что означает параллельность плоскостей. Проверка третьей координаты не требуется, так как пропорции уже равны, и три равенства связаны между собой. Ответ: \(a = -7.5\), \(b = 1.6\).