ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, симметричной плоскости \(3x — 5y + z + 6 = 0\) относительно: 1) начала координат; 2) точки \(M(1; 1; 3)\).

Для симметрии относительно начала координат заменяем \(x, y, z\) на \(-x, -y, -z\). Подставляем в уравнение \(3(-x) — 5(-y) + (-z) + 6 = 0\), получаем \(-3x + 5y — z + 6 = 0\). Домножаем на \(-1\), итог: \(3x — 5y + z — 6 = 0\).

Для симметрии относительно точки \(M(1;1;3)\) заменяем \(x, y, z\) на \(2 — x, 2 — y, 6 — z\). Подставляем: \(3(2 — x) — 5(2 — y) + (6 — z) + 6 = 0\), раскрываем скобки и упрощаем: \(6 — 3x — 10 + 5y + 6 — z + 6 = 0\), складываем числа: \(8 — 3x + 5y — z = 0\). Домножаем на \(-1\), итог: \(3x — 5y + z — 8 = 0\).

1) Для симметрии относительно начала координат необходимо заменить координаты каждой точки \((x, y, z)\) на \((-x, -y, -z)\). Подставим эти значения в уравнение плоскости \(3x — 5y + z + 6 = 0\):

\(3(-x) — 5(-y) + (-z) + 6 = 0\)

Раскроем скобки:

\(-3x + 5y — z + 6 = 0\)

Домножим уравнение на \(-1\), чтобы привести к стандартному виду:

\(3x — 5y + z — 6 = 0\)

Это уравнение плоскости, симметричной относительно начала координат.

2) Для симметрии относительно точки \(M(1; 1; 3)\) координаты точки \((x, y, z)\) преобразуются по формулам:

\(x’ = 2 \cdot 1 — x = 2 — x\)

\(y’ = 2 \cdot 1 — y = 2 — y\)

\(z’ = 2 \cdot 3 — z = 6 — z\)

Подставим \((x’, y’, z’)\) в исходное уравнение плоскости:

\(3(2 — x) — 5(2 — y) + (6 — z) + 6 = 0\)

Раскроем скобки:

\(6 — 3x — 10 + 5y + 6 — z + 6 = 0\)

Сложим числовые коэффициенты:

\(8 — 3x + 5y — z = 0\)

Домножим уравнение на \(-1\), чтобы привести к стандартному виду:

\(3x — 5y + z — 8 = 0\)