ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В цилиндре проведено сечение, параллельное его оси и отстоящее от неё на 3 см. Диагональ сечения равна 16 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите радиус основания цилиндра.

Диагональ сечения \( d = 16 \), угол с основанием \( 60^\circ \).

Длина основания сечения \( a = d \cdot \cos(60^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \).

Высота сечения \( h = \sqrt{d^2 — a^2} = \sqrt{16^2 — 8^2} = \sqrt{256 — 64} = 8\sqrt{3} \).

Хорда основания \( a = 2 \sqrt{R^2 — 3^2} \), значит \( 8 = 2 \sqrt{R^2 — 9} \).

Отсюда \( 4 = \sqrt{R^2 — 9} \), значит \( 16 = R^2 — 9 \), и \( R^2 = 25 \).

Радиус основания цилиндра \( R = 5 \).

1. Дано, что сечение цилиндра параллельно оси и отстоит от неё на 3 см. Диагональ сечения равна 16 см, а угол между диагональю и плоскостью основания цилиндра составляет 60°.

2. Обозначим длину хорды основания сечения через \( a \), высоту цилиндра через \( h \), а радиус основания через \( R \).

3. По определению угла между диагональю сечения и основанием цилиндра, длина хорды равна \( a = d \cdot \cos 60^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \) см.

4. Диагональ сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами \( a \) и \( h \), поэтому \( h = \sqrt{d^2 — a^2} = \sqrt{16^2 — 8^2} = \sqrt{256 — 64} = 8\sqrt{3} \) см.

5. Хорда основания, отстоящая от центра на 3 см, связана с радиусом основания по формуле \( a = 2 \sqrt{R^2 — 3^2} \).

6. Подставляем известное значение \( a = 8 \): \( 8 = 2 \sqrt{R^2 — 9} \).

7. Делим обе части на 2: \( 4 = \sqrt{R^2 — 9} \).

8. Возводим в квадрат обе части: \( 16 = R^2 — 9 \).

9. Находим \( R^2 = 25 \).

10. Следовательно, радиус основания цилиндра равен \( R = 5 \) см.