ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

 Площадь осевого сечения цилиндра равна \(S\). Найдите площадь сечения цилиндра, которое параллельно его оси и удалено от неё на расстояние, составляющее: 1) половину радиуса основания; 2) \(\frac{4}{5}\) радиуса основания. 

Пусть радиус основания цилиндра \(R\), высота \(h\), площадь осевого сечения \(S = 2Rh\).

Площадь сечения, параллельного оси и удалённого на расстояние \(d\), равна \(S_{d} = 2h \sqrt{R^{2} — d^{2}}\).

Выразим \(h = \frac{S}{2R}\), тогда \(S_{d} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — d^{2}}\).

1) При \(d = \frac{1}{2} R\), \(S_{1} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — \left(\frac{R}{2}\right)^{2}} = \frac{S \sqrt{3}}{2}\).

2) При \(d = \frac{4}{5} R\), \(S_{2} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — \left(\frac{4R}{5}\right)^{2}} = \frac{3S}{5}\).

1. Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\), а высота цилиндра — \(h\). Площадь осевого сечения цилиндра, которое представляет собой прямоугольник с высотой \(h\) и шириной \(2R\), равна \(S = 2Rh\).

2. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удалённой от неё на расстояние \(d\). Такое сечение будет прямоугольником с высотой \(h\) и шириной равной длине хорды основания, проходящей на расстоянии \(d\) от центра. Ширина равна \(2 \sqrt{R^{2} — d^{2}}\).

3. Площадь сечения, параллельного оси и удалённого от неё на расстояние \(d\), будет равна произведению высоты на ширину:
\(S_{d} = 2h \sqrt{R^{2} — d^{2}}\).

4. Выразим высоту \(h\) через площадь осевого сечения \(S\):
\(h = \frac{S}{2R}\).

5. Подставим выражение для \(h\) в формулу площади сечения:
\(S_{d} = 2 \cdot \frac{S}{2R} \cdot \sqrt{R^{2} — d^{2}} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — d^{2}}\).

6. Рассчитаем площадь сечения при \(d = \frac{1}{2} R\):
\(S_{1} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — \left(\frac{R}{2}\right)^{2}} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — \frac{R^{2}}{4}} = \frac{S}{R} \sqrt{\frac{3R^{2}}{4}} = \frac{S}{R} \cdot \frac{R \sqrt{3}}{2} = \frac{S \sqrt{3}}{2}\).

7. Рассчитаем площадь сечения при \(d = \frac{4}{5} R\):
\(S_{2} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — \left(\frac{4R}{5}\right)^{2}} = \frac{S}{R} \sqrt{R^{2} — \frac{16R^{2}}{25}} = \frac{S}{R} \sqrt{\frac{9R^{2}}{25}} = \frac{S}{R} \cdot \frac{3R}{5} = \frac{3S}{5}\).

8. Итоговые площади сечений: