ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

 Через образующую \(AA_1\) цилиндра проведены сечения \(AA_1B_1B\) и \(AA_1C_1C\), площади которых равны соответственно 16 см\(^2\) и 21 см\(^2\). Двугранный угол, гранями которого являются полуплоскости \(AA_1B\) и \(AA_1C\), равен 60°. Найдите площадь четырёхугольника \(BB_1C_1C\).

Пусть \(S_1 = 16\) см², \(S_2 = 21\) см² — площади сечений, \(\theta = 60^\circ\) — двугранный угол.

Площадь четырёхугольника \(BB_1C_1C\) вычисляется по формуле:
\(S = \sqrt{S_1^2 + S_2^2 — 2 S_1 S_2 \cos \theta}\).

Подставляем значения:
\(S = \sqrt{16^2 + 21^2 — 2 \cdot 16 \cdot 21 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{256 + 441 — 336} = \) \(=\sqrt{341} \approx 18{,}5\).

Ответ: площадь четырёхугольника равна 19 см² (с учётом округления).

1. Даны площади сечений: \(S_1 = 16\) см² для сечения \(AA_1B_1B\) и \(S_2 = 21\) см² для сечения \(AA_1C_1C\).

2. Двугранный угол между плоскостями, содержащими эти сечения, равен \(\theta = 60^\circ\).

3. Площадь четырёхугольника \(BB_1C_1C\) равна площади параллелограмма, построенного на векторах с площадями \(S_1\) и \(S_2\) с углом \(\theta\) между ними.

4. По формуле косинуса угла для площади результирующего параллелограмма:
\(S = \sqrt{S_1^{2} + S_2^{2} — 2 S_1 S_2 \cos \theta}\).

5. Подставляем значения:
\(S = \sqrt{16^{2} + 21^{2} — 2 \cdot 16 \cdot 21 \cdot \cos 60^\circ}\).

6. Вычисляем косинус:
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

7. Подставляем и считаем:
\(S = \sqrt{256 + 441 — 2 \cdot 16 \cdot 21 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{256 + 441 — 336}\).

8. Суммируем и вычитаем:
\(S = \sqrt{697 — 336} = \sqrt{361}\).

9. Извлекаем корень:
\(S = 19\).

10. Ответ: площадь четырёхугольника \(BB_1C_1C\) равна 19 см².