ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой \(c\) и острым углом \(\alpha\). Диагональ боковой грани, содержащей катет основания, противолежащий углу \(\alpha\), наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Основание призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой \(c\) и острым углом \(\alpha\). Радиус описанной окружности около основания равен \(r = \frac{c}{2}\).

Высота призмы \(h\) связана с углом наклона диагонали боковой грани \(\beta\) и катетом, противолежащим углу \(\alpha\): \(h = c \sin \alpha \tan \beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы, равна \(S = 2 \pi r h\).

Подставляя значения, получаем \(S = 2 \pi \cdot \frac{c}{2} \cdot c \sin \alpha \tan \beta = \pi c^2 \sin \alpha \tan \beta\).

1. Основание призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой \(c\) и острым углом \(\alpha\). В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть \(r = \frac{c}{2}\).

2. Рассмотрим боковую грань призмы, которая содержит катет основания, противолежащий углу \(\alpha\). Этот катет равен \(b = c \sin \alpha\).

3. Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). По определению угла наклона диагонали к основанию высота призмы \(h\) связана с катетом и углом \(\beta\) формулой \(h = b \tan \beta\).

4. Подставляя значение катета, получаем \(h = c \sin \alpha \tan \beta\).

5. Цилиндр описан около призмы так, что его основание совпадает с описанной окружностью основания призмы. Радиус основания цилиндра равен \(r = \frac{c}{2}\).

6. Высота цилиндра совпадает с высотой призмы, то есть \(h = c \sin \alpha \tan \beta\).

7. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h\).

8. Подставляем значения \(r\) и \(h\) в формулу площади:

\(S_{\text{бок}} = 2 \pi \cdot \frac{c}{2} \cdot c \sin \alpha \tan \beta\).

9. Упрощая выражение, получаем

\(S_{\text{бок}} = \pi c^{2} \sin \alpha \tan \beta\).

10. Итог: площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы, равна

\(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h = \pi c^{2} \sin \alpha \tan \beta\).