ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, равна \(S\). Найдите площадь поверхности куба.

Пусть ребро куба равно \(a\), тогда площадь поверхности куба равна \(6a^2\).

Радиус основания цилиндра, описанного около куба, равен радиусу описанной окружности квадрата основания: \(r = \frac{a \sqrt{2}}{2}\), высота цилиндра \(h = a\).

Площадь полной поверхности цилиндра \(S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot a + 2 \pi \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi a^2 (\sqrt{2} + 1)\).

Выразим \(a^2\): \(a^2 = \frac{S}{\pi (\sqrt{2} + 1)}\).

Подставим в площадь куба: \(6a^2 = \frac{6S}{\pi (\sqrt{2} + 1)}\).

Используем тождество \(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} — 1\), получаем ответ: \( \frac{6S (\sqrt{2} — 1)}{\pi} \).

1. Пусть ребро куба равно \(a\). Тогда площадь поверхности куба равна \(6a^{2}\).

2. Цилиндр описан около куба так, что высота цилиндра равна ребру куба: \(h = a\).

3. Основание цилиндра — круг, описанный около квадрата основания куба со стороной \(a\).

4. Радиус основания цилиндра равен радиусу описанной окружности квадрата: \(r = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

5. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований: \(S = 2\pi r h + 2\pi r^{2}\).

6. Подставим значения \(r\) и \(h\): \(S = 2\pi \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot a + 2\pi \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}\).

7. Упростим выражение: \(S = \pi a^{2} \sqrt{2} + \pi a^{2} = \pi a^{2} (\sqrt{2} + 1)\).

8. Выразим \(a^{2}\) из уравнения: \(a^{2} = \frac{S}{\pi (\sqrt{2} + 1)}\).

9. Подставим \(a^{2}\) в формулу площади поверхности куба: \(6a^{2} = \frac{6S}{\pi (\sqrt{2} + 1)}\).

10. Используем тождество \(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} — 1\), получаем: площадь поверхности куба равна \(\frac{6S (\sqrt{2} — 1)}{\pi}\).