ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является ромб с тупым углом \(\alpha\). Угол между боковым ребром и большей диагональю призмы равен \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, если её высота равна \(h\).

Основание призмы — ромб с тупым углом \(\alpha\). Радиус вписанного цилиндра равен \(n = \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению периметра основания на высоту, то есть \(S_{\text{бок}} = 2 \pi n h\).

Подставляя \(n\), получаем \(S_{\text{бок}} = 2 \pi h \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

1. Основание прямой призмы представляет собой ромб с тупым углом \(\alpha\). Ромб — это параллелограмм с равными сторонами, и у него есть два угла: острый и тупой. В данном случае нас интересует тупой угол \(\alpha\). Важно понимать, что стороны ромба равны, а диагонали пересекаются под прямым углом. В призме высота \(h\) — это расстояние между основаниями, и боковые ребра перпендикулярны основаниям. Угол \(\beta\) задан как угол между боковым ребром призмы и большей диагональю основания. Этот угол позволяет связать геометрию призмы с параметрами цилиндра, который вписан в эту призму.

2. Цилиндр вписан в призму так, что его основание лежит в плоскости ромба, а ось цилиндра параллельна высоте призмы. Радиус цилиндра равен радиусу вписанной окружности ромба, то есть максимальному радиусу круга, который можно вписать в ромб. Для ромба с тупым углом \(\alpha\) радиус вписанного круга выражается через угол \(\alpha\) и угол \(\beta\) следующим образом:

\[
r = \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta
\]

Здесь \(\cos \frac{\alpha}{2}\) — это косинус половины тупого угла ромба, а \(\tan \beta\) — тангенс угла между боковым ребром и большей диагональю. Такая формула получается из анализа взаимного расположения бокового ребра и диагонали, а также геометрии ромба.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется как произведение периметра основания цилиндра на высоту \(h\). Поскольку основание цилиндра — круг с радиусом \(r\), периметр основания равен длине окружности \(2 \pi r\). Тогда площадь боковой поверхности цилиндра:

\[
S_{\text{бок}} = 2 \pi r h
\]

Подставляя выражение для радиуса \(r\), получаем:

\[
S_{\text{бок}} = 2 \pi h \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра зависит от высоты призмы \(h\), угла тупого угла ромба \(\alpha\) и угла \(\beta\) между боковым ребром и большей диагональю. Это выражение позволяет напрямую вычислить площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, без дополнительных построений.