ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A (-2; 1; 3)\), \(B (0; 5; 9)\) и \(C (-3; y; 6)\). При каких значениях \(y\) отрезок \(AB\) в 2 раза больше отрезка \(AC\)?

Находим длины: \(AB = \sqrt{56}\), \(AC = \sqrt{y^2 — 2y + 11}\).

По условию \(AB = 2AC\), получаем уравнение: \(\sqrt{56} = 2\sqrt{y^2 — 2y + 11}\).

Возводим обе части в квадрат: \(56 = 4(y^2 — 2y + 11)\).

Приводим к квадратному уравнению: \(y^2 — 2y — 3 = 0\).

Вычисляем корни: \(y_1 = 3\), \(y_2 = -1\).

Ответ: \(y = 3\) или \(y = -1\), так как оба значения подходят по условию задачи.

1. Найдём длину отрезка \(AB\):

\(AB = \sqrt{(0 + 2)^2 + (5 — 1)^2 + (9 — 3)^2} = \)
\(=\sqrt{2^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56}\).

2. Найдём длину отрезка \(AC\):

\(AC = \sqrt{(-3 + 2)^2 + (y — 1)^2 + (6 — 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (y — 1)^2 + 3^2} = \)
\(=\sqrt{1 + (y — 1)^2 + 9} = \sqrt{y^2 — 2y + 11}\).

3. По условию задачи \(AB = 2 \cdot AC\):

\(\sqrt{56} = 2 \cdot \sqrt{y^2 — 2y + 11}\).

4. Возводим обе части в квадрат:

\(56 = 4(y^2 — 2y + 11)\).

5. Раскрываем скобки и приводим подобные:

\(56 = 4y^2 — 8y + 44\).

6. Переносим всё в одну часть:

\(4y^2 — 8y + 44 — 56 = 0\).

7. Получаем квадратное уравнение:

\(4y^2 — 8y — 12 = 0\).

8. Делим обе части на 4:

\(y^2 — 2y — 3 = 0\).

9. Находим дискриминант:

\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).

10. Находим корни:

\(y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(y_2 = \frac{2 — 4}{2} = -1\).

Ответ: \(y = 3\) или \(y = -1\)