ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания и высоту конуса увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилась площадь боковой поверхности конуса?

Радиус основания \( r \) и высота \( h \) увеличились в 2 раза, значит \( r’ = 2r \) и \( h’ = 2h \).

Образующая конуса \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \), тогда новая образующая \( l’ = \sqrt{(2r)^2 + (2h)^2} = \sqrt{4r^2 + 4h^2} = 2\sqrt{r^2 + h^2} = 2l \).

Площадь боковой поверхности \( S = \pi r l \), новая площадь \( S’ = \pi r’ l’ = \pi (2r)(2l) = 4 \pi r l = 4S \).

Ответ: площадь боковой поверхности увеличилась в 4 раза.

1. Радиус основания конуса \( r \) и высота \( h \) увеличиваются в 2 раза, то есть новые значения равны \( r’ = 2r \) и \( h’ = 2h \). Это означает, что все линейные размеры конуса масштабируются одинаково, что влияет на образующую и площадь боковой поверхности.

2. Образующая конуса \( l \) вычисляется по формуле \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \). При увеличении радиуса и высоты в 2 раза новая образующая будет равна \( l’ = \sqrt{(2r)^2 + (2h)^2} = \sqrt{4r^2 + 4h^2} = \sqrt{4(r^2 + h^2)} = 2\sqrt{r^2 + h^2} = 2l \). Таким образом, образующая также увеличивается ровно в 2 раза.

3. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S = \pi r l \). Подставляя новые значения, получаем \( S’ = \pi r’ l’ = \pi (2r)(2l) = 4 \pi r l = 4S \). Следовательно, площадь боковой поверхности увеличивается в 4 раза, так как она пропорциональна произведению радиуса и образующей.