ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.42 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Наибольший угол между двумя образующими конуса равен \(120^\circ\). Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(90^\circ\), проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде длиной 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Наибольший угол между образующими равен 120°, значит угол между осью конуса и образующей \( \alpha = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \).

Через две образующие с углом 90° проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 6 см. В сечении получается треугольник с вершиной \( O \) и основанием \( AB = 6 \), где \( \angle AOB = 90^\circ \).

Обозначим длину образующей за \( l \). По теореме косинусов для треугольника \( OAB \) имеем \( 6^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \), откуда \( l = 3\sqrt{2} \).

Высота конуса \( h = l \cos 60^\circ = 3\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).

Радиус основания \( R = l \sin 60^\circ = 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \).

Площадь боковой поверхности конуса \( S = \pi R l = \pi \times \frac{3\sqrt{6}}{2} \times 3\sqrt{2} = 9\pi \sqrt{3} \).

1. Наибольший угол между двумя образующими конуса равен 120°, значит угол между осью конуса и образующей равен половине этого угла, то есть \( \alpha = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \). Это ключевой момент, так как угол \( \alpha \) определяет наклон образующей относительно оси конуса и позволяет связать длину образующей с радиусом основания и высотой конуса.

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через две образующие, между которыми угол равен 90°. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде длиной 6 см. В сечении конуса этой плоскостью получается треугольник \( OAB \), где \( O \) — вершина конуса, а \( A \) и \( B \) — точки пересечения образующих с основанием. Угол при вершине \( O \) равен 90°, а длина хорды \( AB = 6 \) см. Обозначим длину образующей через \( l \). По теореме косинусов для треугольника \( OAB \) имеем: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 — 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 90^\circ \). Так как \( \cos 90^\circ = 0 \), то \( 6^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \), откуда \( l = 3\sqrt{2} \).

3. Теперь найдём высоту конуса \( h \) и радиус основания \( R \) через длину образующей \( l \) и угол \( \alpha \). Высота конуса связана с длиной образующей и углом \( \alpha \) формулой \( h = l \cos 60^\circ = 3\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \). Радиус основания равен \( R = l \sin 60^\circ = 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \). Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S = \pi R l \). Подставляя найденные значения, получаем \( S = \pi \times \frac{3\sqrt{6}}{2} \times 3\sqrt{2} = 9\pi \sqrt{3} \).