ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.43 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу \(60^\circ\), проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Найдите площадь образовавшегося сечения, если радиус основания конуса равен 4 см.

Радиус основания конуса \(r = 4\).

Длина хорды, стягивающей дугу \(60^\circ\), равна \(c = 2r \sin \frac{60^\circ}{2} = 8 \times \sin 30^\circ = 4\).

Площадь треугольника в основании с углом \(60^\circ\) между сторонами \(r\): \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} r^2 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\).

Плоскость сечения наклонена к основанию под углом \(30^\circ\), значит площадь сечения \(S = \frac{S_{\text{осн}}}{\cos 30^\circ} = 4 \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8\).

Ответ: \(8 \text{ см}^2\).

1. Радиус основания конуса равен \(r = 4\) см.

2. Дуга основания конуса составляет \(60^\circ\), что является шестой частью окружности. Длина всей окружности равна \(2 \pi r = 8 \pi\) см, поэтому длина дуги равна \( \frac{1}{6} \times 8 \pi = \frac{4 \pi}{3} \) см.

3. Хорда, стягивающая эту дугу, рассчитывается по формуле \(c = 2r \sin \frac{\theta}{2}\), где \(\theta = 60^\circ\). Подставляя значения, получаем \(c = 2 \times 4 \times \sin 30^\circ = 8 \times \frac{1}{2} = 4\) см.

4. В основании конуса хорда и радиусы образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 4 см и углом между ними \(60^\circ\).

5. Площадь этого треугольника рассчитывается как \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} r^2 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\) см\(^2\).

6. Плоскость сечения проходит через вершину конуса и хорду основания, образуя с плоскостью основания угол \(30^\circ\).

7. Площадь сечения будет равна площади треугольника в основании, увеличенной на коэффициент, связанный с наклоном плоскости: \( \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \).

8. Следовательно, площадь сечения равна \( S = S_{\text{осн}} \times \frac{1}{\cos 30^\circ} = 4 \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8 \) см\(^2\).

9. Итог: площадь сечения, образованного плоскостью, равна \(8\) см\(^2\).

10. Ответ совпадает с примером: \(8\) см\(^2\).