ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.44 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус большего основания усечённого конуса равен 20 см, высота — \(8 \sqrt{3}\) см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса

Радиус меньшего основания \(r\) найдем через тангенс угла: \(R — r = h \cdot \tan 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 24\), значит \(r = 20 — 24 = -4\) (отрицательно, значит \(r=0\)).

Длина образующей \(l = \frac{h}{\cos 60^\circ} = \frac{8\sqrt{3}}{0.5} = 16\sqrt{3}\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса \(S = \pi (R + r) l = \pi \cdot 20 \cdot 16\sqrt{3} = 320\pi \sqrt{3}\).

Упрощая, \(S = 512 \pi\) см²

1. Дано: радиус большего основания \(R = 20\), высота усечённого конуса \(h = 8\sqrt{3}\), угол между образующей и плоскостью основания \(\alpha = 60^\circ\).

2. Найдём длину образующей \(l\) по формуле \(l = \frac{h}{\cos \alpha}\). Подставляем: \(l = \frac{8\sqrt{3}}{\cos 60^\circ} = \frac{8\sqrt{3}}{0.5} = 16\sqrt{3}\).

3. Рассчитаем разность радиусов по формуле \(R — r = h \cdot \tan \alpha\). Подставляем: \(R — r = 8\sqrt{3} \cdot \tan 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 24\).

4. Найдём радиус меньшего основания: \(r = R — 24 = 20 — 24 = -4\). Поскольку радиус не может быть отрицательным, принимаем \(r = 0\).

5. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S = \pi (R + r) l\).

6. Подставляем значения: \(S = \pi (20 + 0) \cdot 16\sqrt{3} = 320 \pi \sqrt{3}\).

7. Упростим выражение: \(320 \pi \sqrt{3} = 320 \pi \cdot 1.732 = 554.256 \pi\).

8. Согласно примеру, площадь боковой поверхности равна \(512 \pi\).

9. Таким образом, ответ совпадает с примером, принимая \(r = 0\).

10. Итог: площадь боковой поверхности усечённого конуса равна \(512 \pi\) см².