ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.47 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ромб со стороной 1 см и острым углом \(60^\circ\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его большей диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Ромб со стороной 1 см и углом 60° имеет большую диагональ \(d_1 = 2 \cdot 1 \cdot \cos 30^\circ = \sqrt{3}\) см.

Ось вращения перпендикулярна этой диагонали и проходит через вершину острого угла.

Площадь боковой поверхности тела вращения равна площади боковых поверхностей пяти усечённых конусов минус площадь двух оснований.

По формуле: \(S = 5 S_{\text{усеч. конуса}} — 2 S_{\text{основания}} = 4 \pi \sqrt{3}\) см².

1. Дана сторона ромба \(a = 1\) см и острый угол \(\alpha = 60^\circ\).

2. Большая диагональ ромба вычисляется по формуле \(d_1 = 2a \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 30^\circ = \sqrt{3}\) см.

3. Меньшая диагональ равна \(d_2 = 2a \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ = 1\) см.

4. Ось вращения проходит через вершину острого угла и перпендикулярна большей диагонали.

5. При вращении ромба вокруг этой оси получается тело, образованное четырьмя равными треугольными поверхностями.

6. Площадь основания тела вращения равна площади ромба \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см².

7. Для нахождения площади боковой поверхности используем разбиение тела на усечённые конусы и пирамиды.

8. Суммарная площадь боковой поверхности равна \(5 S_{\text{усечённой пирамиды}} — 2 S_{\text{основания}}\).

9. Подставляя значения, получаем \(S = 4 \pi \sqrt{3}\) см².

10. Итог: площадь поверхности тела вращения равна \(4 \pi \sqrt{3}\) см².