ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.48 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота усечённого конуса равна 4 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет \(60^\circ\). Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна боковой стороне сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Высота усечённого конуса \(h = 4\), угол между образующей и основанием \(60^\circ\). Длина образующей \(l = \frac{h}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8\).

По теореме Пифагора в осевом сечении: \(l^2 = h^2 + (R_1 — R_2)^2\), значит \((R_1 — R_2)^2 = 64 — 16 = 48\), откуда \(R_1 — R_2 = 4 \sqrt{3}\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна \(S = \pi (R_1 + R_2) l\). По условию диагональ перпендикулярна боковой стороне, что даёт \(R_1 + R_2 = 4\).

Подставляем: \(S = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32 \pi\).

Ответ: \(S = 32 \pi\) см².

1. Дана высота усечённого конуса \(h = 4\) см и угол между образующей и плоскостью большего основания \(\alpha = 60^\circ\). Найдём длину образующей \(l\) по формуле \(l = \frac{h}{\cos \alpha} = \frac{4}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8\) см.

2. Обозначим радиусы оснований как \(R_1\) (больший) и \(R_2\) (меньший). В осевом сечении усечённого конуса образующая \(l\) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(h\) и \(R_1 — R_2\). По теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + (R_1 — R_2)^2\).

3. Подставим известные значения: \(8^2 = 4^2 + (R_1 — R_2)^2\), откуда \(64 = 16 + (R_1 — R_2)^2\), значит \((R_1 — R_2)^2 = 48\), и \(R_1 — R_2 = 4 \sqrt{3}\).

4. Из условия задачи диагональ осевого сечения перпендикулярна боковой стороне, что даёт соотношение для суммы радиусов: \(R_1 + R_2 = 4\).

5. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S = \pi (R_1 + R_2) l\).

6. Подставим значения: \(S = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32 \pi\) см².

Ответ: \(S = 32 \pi\) см².