ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.49 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна \(a\), а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь осевого сечения конуса равна \(S = \frac{1}{2} h \cdot 2r = h r\).

Радиус основания равен стороне правильного шестиугольника \(r = a\).

Высота \(h\) связана с углом \(\alpha\) как \(h = a \tan \alpha\).

Подставляем: \(S = a \tan \alpha \cdot a = a^2 \tan \alpha\).

Ответ: \(S = a^2 \tan \alpha\).

1. Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду с длиной стороны основания \(a\). Основание — правильный шестиугольник, у которого радиус описанной окружности равен стороне, то есть \(r = a\).

2. Осевое сечение конуса, описанного около пирамиды, представляет собой треугольник с высотой \(h\) и основанием \(2r\).

3. Площадь осевого сечения конуса равна \(S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 2r = h r\).

4. Угол \(\alpha\) между боковым ребром и плоскостью основания связан с высотой и радиусом основания осевого сечения через тангенс: \(\tan \alpha = \frac{h}{r}\).

5. Подставляя \(r = a\), получаем \(h = a \tan \alpha\).

6. Подставим найденные значения в формулу площади: \(S = h r = a \tan \alpha \cdot a = a^{2} \tan \alpha\).

7. Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна \(a^{2} \tan \alpha\).