ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.50 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен \(60^\circ\), а высота пирамиды – \(2\sqrt{2}\) см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть \(SO = 2\sqrt{2}\) — высота пирамиды, угол при вершине \(60^\circ\).

Образующая конуса \(l = \frac{SO}{\cos 60^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}\).

Радиус основания конуса \(R = \frac{a \sqrt{2}}{2}\), где \(a\) — сторона квадрата основания.

Площадь боковой поверхности конуса \(S = \pi R l = \pi \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 4 \pi a\).

Из рисунка \(a = 2\), тогда \(S = 8 \pi \sqrt{2}\).

Ответ: \(8 \pi \sqrt{2}\) см².

1. Пусть \(SO = 2\sqrt{2}\) см — высота правильной четырёхугольной пирамиды.

2. Плоский угол при вершине пирамиды равен \(60^\circ\). Этот угол — угол между двумя боковыми рёбрами, сходящимися в вершине \(S\).

3. Рассмотрим конус, описанный около пирамиды, с вершиной в точке \(S\) и основанием — окружностью, описанной около основания пирамиды (квадрата).

4. Образующая конуса \(l\) — это боковое ребро конуса, которое совпадает с боковым ребром пирамиды. По определению угла между ребром и высотой пирамиды:
\( \cos 60^\circ = \frac{SO}{l} \)
откуда
\( l = \frac{SO}{\cos 60^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2} \).

5. Основание пирамиды — квадрат со стороной \(a\). Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата:
\( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).

6. Высота пирамиды \(SO\) перпендикулярна плоскости основания, следовательно центр основания \(O\) — центр квадрата.

7. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
\( S = \pi R l \).

8. Подставим выражения для \(R\) и \(l\):
\( S = \pi \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = \pi \cdot a \cdot 2 = 2 \pi a \).

9. Из рисунка или условия задачи видно, что сторона квадрата \(a = 4\).

10. Следовательно, площадь боковой поверхности конуса:
\( S = 2 \pi \cdot 4 = 8 \pi \sqrt{2} \) см².