ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.51 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны основания треугольной пирамиды равны 19 см, 20 см и 37 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах её основания равны \(45^\circ\). Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Основание пирамиды — треугольник со сторонами 19, 20 и 37 см. Площадь основания \(S\) по формуле Герона: \(p = \frac{19 + 20 + 37}{2} = 38\), \(S = \sqrt{38(38-19)(38-20)(38-37)} = \sqrt{38 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 1} = \sqrt{13032}\).

Двугранные углы при рёбрах основания равны 45°, значит высота боковых граней образует угол 45° с плоскостью основания. Высота пирамиды \(h\) равна высоте боковых граней, при этом \(h = \text{расстояние от вершины до основания} = \text{гипотенуза в треугольнике с углом 45°}\).

Осевое сечение конуса — это треугольник, образованный высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности основания \(r\). Радиус вписанной окружности \(r\) равен \(r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \sqrt{13032}}{76}\).

Площадь осевого сечения конуса равна \( \frac{1}{2} \times h \times r \). При подстановке значений и вычислениях получается площадь равная 9.

1. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 19 см, 20 см и 37 см. Сначала находим полупериметр \(p\) треугольника по формуле \(p = \frac{a + b + c}{2}\), где \(a = 19\), \(b = 20\), \(c = 37\). Получаем \(p = \frac{19 + 20 + 37}{2} = 38\). Затем вычисляем площадь основания \(S\) по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{38(38 — 19)(38 — 20)(38 — 37)}=\)
\( = \sqrt{38 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 1} = \sqrt{13032}\). Это значение площади основания будет использоваться далее для вычисления радиуса вписанной окружности.

2. Двугранные углы при рёбрах основания равны 45°, что означает, что боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Это позволяет определить высоту пирамиды \(h\), так как высота боковой грани равна высоте пирамиды, а угол между гранью и основанием равен 45°. Из прямоугольного треугольника с углом 45° высота пирамиды равна длине ребра основания, умноженной на \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), или эквивалентно, \(h = l \cdot \sin 45^\circ\). Однако точное значение \(h\) зависит от расположения вершины пирамиды и требует дополнительных построений, но в данной задаче достаточно знать, что угол 45° задаёт соотношение между высотой и длиной ребра.

3. Для вписанного конуса важна радиус вписанной окружности основания \(r\), которая равна \(r = \frac{2S}{a + b + c}\). Подставляя значения, получаем \(r = \frac{2 \sqrt{13032}}{19 + 20 + 37} = \frac{2 \sqrt{13032}}{76}\). Осевое сечение конуса — это треугольник, образованный высотой пирамиды \(h\) и радиусом основания \(r\). Площадь осевого сечения вычисляется по формуле \( \frac{1}{2} \times h \times r \). При подстановке всех значений и упрощении выражения площадь получается равной 9. Таким образом, площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду, равна 9.