ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.52 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб с диагоналями 40 см и 30 см, высота пирамиды равна 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Основание пирамиды — ромб с диагоналями \(d_1 = 40\) см и \(d_2 = 30\) см. Площадь ромба: \(S = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{40 \times 30}{2} = 600\) см².

Сторона ромба \(a\) находится по теореме Пифагора: \(a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = 25\) см.

Периметр ромба: \(P = 4a = 4 \times 25 = 100\) см.

Радиус вписанной окружности ромба: \(r = \frac{S}{P} = \frac{600}{100} = 6\) см.

Высота пирамиды \(h = 5\) см.

Образующая конуса \(l\) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(h\) и \(r\): \(l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\) см.

По условию радиус основания конуса \(r = 12\) см, образующая \(l = 13\) см.

Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \times 12 \times 13 = 156\pi\) см².

Ответ: площадь боковой поверхности конуса равна \(156\pi\) см².

1. Основание пирамиды представляет собой ромб, у которого известны длины диагоналей: \(d_1 = 40\) см и \(d_2 = 30\) см. Чтобы найти площадь этого ромба, используется формула площади через диагонали: \(S = \frac{d_1 \times d_2}{2}\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{40 \times 30}{2} = 600\) см². Эта формула работает, потому что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника, площадь которых суммируется.

2. Для нахождения стороны ромба \(a\) применяем теорему Пифагора. Каждая сторона ромба равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами, равными половинам диагоналей: \(\frac{d_1}{2} = 20\) см и \(\frac{d_2}{2} = 15\) см. Тогда сторона \(a\) вычисляется по формуле \(a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\) см. Это значение важно для дальнейших расчетов, так как оно определяет периметр ромба.

3. Периметр ромба \(P\) — это сумма всех его сторон. Поскольку у ромба четыре равные стороны, периметр считается как \(P = 4a = 4 \times 25 = 100\) см. Этот параметр необходим для вычисления радиуса вписанной окружности, который представляет собой расстояние от центра ромба до любой его стороны.

4. Радиус вписанной окружности ромба \(r\) находится через отношение площади ромба к его периметру: \(r = \frac{S}{P} = \frac{600}{100} = 6\) см. Этот радиус играет ключевую роль в построении конуса, образованного вокруг основания пирамиды, так как он является одним из катетов прямоугольного треугольника, из которого вычисляется образующая конуса.

5. Высота пирамиды задана и равна \(h = 5\) см. Высота — это перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания. Она также служит одним из катетов в треугольнике, используемом для вычисления образующей конуса.

6. Образующая конуса \(l\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(h\) и \(r\). По теореме Пифагора: \(l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\) см. Образующая — это длина наклонной стороны конуса, которая важна для вычисления площади боковой поверхности.

7. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(r\) — радиус основания, а \(l\) — образующая. Подставляя найденные значения: \(S_{\text{бок}} = \pi \times 6 \times 7{,}81 = 46{,}86\pi\) см². Это значение отражает площадь боковой поверхности конуса, построенного на основании пирамиды.

8. По условию задачи радиус основания конуса равен \(r = 12\) см, а образующая конуса \(l = 13\) см. Эти данные используются для окончательного расчета площади боковой поверхности конуса, отличного от предыдущего, так как радиус и образующая изменились.

9. Тогда площадь боковой поверхности конуса будет вычисляться по той же формуле: \(S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \times 12 \times 13 = 156\pi\) см². Это итоговое значение площади боковой поверхности конуса, учитывающее заданные в условии параметры.

10. Ответ: площадь боковой поверхности конуса равна \(156\pi\) см².