ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.53 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты центра и радиус сферы \(x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y — 8z — 4 = 0\). Как расположена точка \(A (1; 2; 5)\) относительно данной сферы?

Перепишем уравнение сферы: \(x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y — 8z — 4 = 0\).

Выделим полный квадрат: \((x + 2)^2 — 4 + (y + 1)^2 — 1 + (z — 4)^2 — 16 = 4\).

Сложим константы: \((x + 2)^2 + (y + 1)^2 + (z — 4)^2 = 25\).

Центр сферы: \((-2, -1, 4)\), радиус \(5\).

Расстояние от точки \(A(1, 2, 5)\) до центра: \(\sqrt{(1 + 2)^2 + (2 + 1)^2 + (5 — 4)^2} = \sqrt{19}\).

Поскольку \(\sqrt{19} < 5\), точка \(A\) лежит внутри сферы.

1. Исходное уравнение сферы имеет вид \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 2y — 8z — 4 = 0\). Чтобы найти центр и радиус, необходимо привести уравнение к стандартному виду \((x — x_{0})^{2} + (y — y_{0})^{2} + (z — z_{0})^{2} = R^{2}\). Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной. Сначала сгруппируем члены: \(x^{2} + 4x + y^{2} + 2y + z^{2} — 8z = 4\).

2. Выделяем полный квадрат для \(x\): \(x^{2} + 4x = (x + 2)^{2} — 4\), для \(y\): \(y^{2} + 2y = (y + 1)^{2} — 1\), для \(z\): \(z^{2} — 8z = (z — 4)^{2} — 16\). Подставляем обратно: \((x + 2)^{2} — 4 + (y + 1)^{2} — 1 + (z — 4)^{2} — 16 = 4\). Складываем константы: \(-4 — 1 — 16 = -21\), значит уравнение становится \((x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z — 4)^{2} = 4 + 21 = 25\).

3. Отсюда центр сферы \(C\) имеет координаты \((-2; -1; 4)\), а радиус равен \(R = \sqrt{25} = 5\). Теперь определим положение точки \(A(1; 2; 5)\) относительно сферы. Вычислим расстояние от точки \(A\) до центра \(C\): \(d = \sqrt{(1 + 2)^{2} + (2 + 1)^{2} + (5 — 4)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}\). Поскольку \(\sqrt{19} \approx 4,36\) меньше радиуса \(5\), точка \(A\) находится внутри сферы.