ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.54 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок \(AB\), если \(A(4; -5; 3)\) и \(B(6; 1; 5)\).  

Найдём середину отрезка \(AB\) по формуле \(O \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)\), получаем \(O(5, -2, 4)\).

Вычислим радиус сферы как половину длины отрезка \(AB\): \(R = \frac{1}{2} \sqrt{(6-4)^2 + (1+5)^2 + (5-3)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{11}\).

Уравнение сферы с центром \(O\) и радиусом \(R\) имеет вид \((x-5)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 = 11\).

1. Найдём координаты середины отрезка \(AB\) по формуле \(O \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)\). Подставляем значения: \(x_A = 4\), \(y_A = -5\), \(z_A = 3\), \(x_B = 6\), \(y_B = 1\), \(z_B = 5\). Получаем \(O \left(\frac{4+6}{2}, \frac{-5+1}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (5, -2, 4)\).

2. Вычислим длину отрезка \(AB\) по формуле \(AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\). Подставляем значения: \(AB = \sqrt{(6-4)^2 + (1+5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 36 + 4} = \)
\(=\sqrt{44}\).

3. Найдём радиус сферы как половину длины отрезка \(AB\): \(R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{44}}{2} = \sqrt{11}\).

4. Запишем уравнение сферы с центром в точке \(O(5, -2, 4)\) и радиусом \(R = \sqrt{11}\). Уравнение имеет вид \((x — 5)^2 + (y + 2)^2 + (z — 4)^2 = (\sqrt{11})^2\).

5. Упростим правую часть уравнения: \((\sqrt{11})^2 = 11\).

6. Итоговое уравнение сферы: \((x — 5)^2 + (y + 2)^2 + (z — 4)^2 = 11\).