ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.56 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости \(4x — 3y + 5z + 2 = 0\) и пересекающей сферу \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 + (z + 3)^2 = R^2\) по большой окружности.

Плоскость параллельна \(4x — 3y + 5z + 2 = 0\), значит её уравнение \(4x — 3y + 5z + D = 0\).

Для пересечения по большой окружности плоскость должна проходить через центр сферы \(C(1, 2, -3)\).

Подставляем координаты центра в уравнение плоскости: \(4 \cdot 1 — 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) + D = 0\).

Получаем \(4 — 6 — 15 + D = 0\), откуда \(D = 17\).

Ответ: \(4x — 3y + 5z + 17 = 0\).

1. Дано уравнение плоскости \(4x — 3y + 5z + 2 = 0\). Плоскость, параллельная данной, имеет уравнение вида \(4x — 3y + 5z + D = 0\), где \(D\) — неизвестный параметр.

2. Дана сфера с уравнением \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 + (z + 3)^2 = R^2\). Центр сферы — точка \(C(1, 2, -3)\).

3. Для того чтобы плоскость пересекала сферу по большой окружности, плоскость должна проходить через центр сферы. Это значит, что координаты центра должны удовлетворять уравнению плоскости.

4. Подставляем координаты центра \(C(1, 2, -3)\) в уравнение плоскости: \(4 \cdot 1 — 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) + D = 0\).

5. Вычисляем выражение: \(4 — 6 — 15 + D = 0\).

6. Суммируем числа: \(-17 + D = 0\).

7. Находим \(D\): \(D = 17\).

8. Таким образом, уравнение искомой плоскости: \(4x — 3y + 5z + 17 = 0\).

9. Эта плоскость параллельна заданной и проходит через центр сферы, что обеспечивает пересечение по большой окружности.

10. Ответ совпадает с примером: \(4x — 3y + 5z + 17 = 0\).