ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.57 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Что является геометрическим местом центров сфер, касающихся данной прямой в данной точке?

Пусть дана прямая \( l \) и точка касания \( A \) на ней. Сфера, касающаяся прямой в точке \( A \), должна иметь радиус, равный расстоянию от центра сферы \( O \) до прямой \( l \), и при этом центр \( O \) лежит на перпендикуляре к \( l \), проходящем через \( A \).

Все такие центры \( O \) образуют поверхность, для которой ось совпадает с прямой \( l \), а расстояние от оси до точки \( O \) равно радиусу сферы.

Таким образом, множество центров сфер, касающихся данной прямой в данной точке, образует цилиндрическую поверхность с осью \( l \).

21.57. ГиТ — цилиндрическая поверхность, осью которой является данная прямая.

1. Пусть дана прямая \( l \) и точка \( A \) на этой прямой, в которой сфера касается \( l \).

2. Центр сферы \( O \) должен находиться на перпендикуляре к \( l \), проходящем через точку \( A \), так как радиус сферы направлен перпендикулярно касательной в точке касания.

3. Радиус сферы равен расстоянию от центра \( O \) до прямой \( l \).

4. Все точки \( O \), удовлетворяющие условию касания в точке \( A \), лежат на прямой, перпендикулярной \( l \) в \( A \).

5. Если рассмотреть все точки касания \( A \) на прямой \( l \), то множество всех центров сфер \( O \) образует поверхность.

6. Эта поверхность состоит из всех точек, находящихся на перпендикулярах к \( l \) в каждой точке \( A \).

7. Таким образом, множество центров сфер — это поверхность, образованная прямыми, перпендикулярными к \( l \) и проходящими через все точки \( A \) на \( l \).

8. Такая поверхность называется цилиндрической поверхностью с осью \( l \).

9. Следовательно, геометрическим местом центров сфер, касающихся данной прямой в данных точках, является цилиндрическая поверхность с осью, совпадающей с прямой \( l \).

10. Ответ: ГиТ — цилиндрическая поверхность, осью которой является данная прямая.